Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением: a1 = a, an+1= an + d.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2. a10. an.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2. an. для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.
Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.
Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:
Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
Свойство арифметической прогрессии
Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.
Рассмотрим пример арифметической прогрессии.
Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.
Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.
Решение арифметической прогрессии:
По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:
Формулы арифметической прогрессии
В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:
Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:
Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:
Значит,
Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.
Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.
Пусть дано:
Нужно доказать:
Действительно,
Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.
Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:
bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии
Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:
Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:
Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.
Формула представляет собой выражение, которое вычисляет значение ячейки. Функции – это предопределенные формулы и они уже встроены в Excel.
Например, на рисунке ниже ячейка А3 содержит формулу, которая складывает значения ячеек А2 и A1.
Ещё один пример. Ячейка A3 содержит функцию SUM (СУММ), которая вычисляет сумму диапазона A1:A2.
Ввод формулы
Чтобы ввести формулу, следуйте инструкции ниже:
Совет: Вместо того, чтобы вручную набирать А1 и А2, просто кликните по ячейкам A1 и A2.
Excel автоматически пересчитывает значение ячейки A3. Это одна из наиболее мощных возможностей Excel.
Редактирование формул
Когда вы выделяете ячейку, Excel показывает значение или формулу, находящиеся в ячейке, в строке формул.
Приоритет операций
Excel использует встроенный порядок, по которому ведутся расчеты. Если часть формулы в скобках, она будет вычислена в первую очередь. Затем выполняется умножение или деление. После этого Excel будет складывать и вычитать. Смотрите пример ниже:
Сперва Excel умножает (A1*A2), затем добавляет значение ячейки A3 к этому результату.
Сначала Excel вычисляет значение в круглых скобках (A2+A3), потом умножает полученный результат на величину ячейки A1.
Копировать/вставить формулу
Когда вы копируете формулу, Excel автоматически подстраивает ссылки для каждой новой ячейки, в которую копируется формула. Чтобы понять это, выполните следующие действия:
Результат: Формула в ячейке B4 ссылается на значения в столбце B.
Вставка функции
Все функции имеют одинаковую структуру. Например:
Название этой функции — SUM (СУММ). Выражение между скобками (аргументы) означает, что мы задали диапазон A1:A4 в качестве входных данных. Эта функция складывает значения в ячейках A1, A2, A3 и A4. Запомнить, какие функции и аргументы использовать для каждой конкретной задачи не просто. К счастью, в Excel есть команда Insert Function (Вставить функцию).
Чтобы вставить функцию, сделайте следующее:
Результат: Excel подсчитывает число ячеек, значение которых больше 5.
Примечание: Вместо того, чтобы использовать инструмент «Вставить функцию», просто наберите =СЧЕТЕСЛИ(A1:C2,»>5″). Когда напечатаете » =СЧЁТЕСЛИ( «, вместо ввода «A1:C2» вручную выделите мышью этот диапазон.
В табличном редакторе Microsoft Excel множество различных формул и функций. Они позволяют сэкономить время и избежать ошибок – достаточно правильно написать формулу и подставить нужные значения.
В этой статье мы рассмотрим функцию ВПР (или VLOOKUP, что означает «вертикальный просмотр»). Функция ВПР помогает работать с данными из двух таблиц и подтягивать значения из одной в другую. Использовать ее удобно, когда нужно посчитать выручку или прикинуть бюджет, если в одной таблице указан прайс-лист, а в другой количество проданного товара.
Необходимо к каждому товару из таблицы слева добавить цену из прайса справа.
Как создать функцию ВПР в Excel
Необходимая последовательность значений в функции называется синтаксис. Обычно функция начинается с символа равенства «=», затем идет название функции и аргументы в скобках.
Записываем формулу в столбик цены (С2). Это можно сделать двумя способами:
Выделить ячейку и вписать функцию.
Выделить ячейку → нажать на Fx (Shift +F3) → выбрать категорию «Ссылки и массивы» → выбрать функцию ВПР → нажать «ОК».
После этого открывается окно, где можно заполнить ячейки аргументов формулы.
Синтаксис функции ВПР выглядит так:
В нашем случае получится такая формула:
Аргументы функции ВПР
Сейчас разберемся что и куда писать.
Со знаком равенства «=» и названием «ВПР» все понятно. Поговорим об аргументах. Они записываются в скобках через точку с запятой или заполняются в ячейки в окне функции. Формула ВПР имеет 4 аргумента: искомое значение, таблица, номер столбца и интервальный просмотр.
Искомое значение – это название ячейки, из которой мы будем «подтягивать» данные. Формула ВПР ищет полное или частичное совпадение в другой таблице, из которой берет информацию.
В нашем случае выбираем ячейку «A2», в ней находится наименование товара. ВПР возьмет это название и будет искать аналогичную ячейку во второй таблице с прайсом.
Таблица – это диапазон ячеек, из которых мы будем «подтягивать» данные для искомого значения. В этом аргументе используем абсолютные ссылки. Это значит, что в формуле таблица будет выглядеть как «$G$2:$H$11» вместо «G2:H11». Знаки «$» можно поставить вручную, а можно выделить «G2:H11» внутри формулы и нажать F4. Если этого не сделать, таблица не зафиксируется в формуле и изменится при копировании.
В нашем случае – это таблица с прайсом. Формула будет искать в ней совпадение с ячейкой, которую указали в первом аргументе формулы – A2 (Кофе). Нажимаем F4 и делаем ссылку абсолютной.
Номер столбца – это столбец таблицы, из которой нужно взять данные. Именно из него мы будем «подтягивать» результат.
Формула сканирует таблицу по вертикали.
Находит в самом левом столбце совпадение с искомым значением.
Смотрит в столбец напротив, очередность которого мы указываем в этом аргументе.
Передает данные в ячейку с формулой.
В нашем случае – это столбец с ценой продуктов в прайсе. Формула ищет искомое значение ячейки A2 (Кофе) в первом столбце прайса и «подтягивает» данные из второго столбца (потому что мы указали цифру 2) в ячейку с формулой.
Интервальный просмотр – это параметр, который может принимать 2 значения: «истина» или «ложь». Истина обозначается в формуле цифрой 1 и означает приблизительное совпадение с искомым значением. Ложь обозначается цифрой 0 и подразумевает точное совпадение. Приблизительный поиск и критерий «истина» обычно используют при работе с числами, а точный и «ложь» – в работе с наименованиями.
В нашем случае искомое значение – это текстовое наименование. Поэтому используем точный поиск – ставим цифру 0 и закрываем скобку.
Автозаполнение
В конце протягиваем формулу вниз до конца, в результате чего происходит автозаполнение.
Чтобы функция ВПР правильно сработала во время автозаполнения, искомое значение должно быть относительной ссылкой, а таблица – абсолютной.
В нашем случае искомое значение – A2. Это относительная ссылка на ячейку, потому что в ней нет знаков «$». Благодаря этому ссылка на искомое значение меняется относительно каждой строчки, когда происходит автозаполнение в другие ячейки: A2 → A3 → … → A11. Это удобно, когда необходимо повторить формулу на несколько строк, ведь ее не приходится писать заново.
Таблица зафиксирована абсолютной ссылкой «$G$2:$H$11». Это означает, что ссылки на ячейки не изменятся во время автозаполнения. Таким образом, расчет каждый раз будет корректным и опираться на таблицу.
ВПР и приблизительный интервальный просмотр
В предыдущем примере мы «подтягивали» значения из таблицы, используя точный интервальный просмотр. Он подходит для работы с наименованиями. Теперь разберем ситуацию, когда может понадобиться приблизительный интервальный просмотр.
Задача. В магазин привезли товар. Необходимо присвоить каждому товару размер партии, опираясь на его количество.
Решение. Заполняем формулу ВПР в ячейке «Партия», как было показано в предыдущем примере.
Разница в том, что теперь искомое значение – число, а интервальный просмотр – истина, что означает приблизительный поиск. Получается вот такой результат:
Что произошло? Аргумент «интервальный просмотр» имеет значение 1. Это значит, что формула ВПР ищет в таблице ближайшее меньшее искомое значение.
В нашем случае количество товара «Кофе» – 380. ВПР берет это число в виде искомого значения, после чего ищет ближайшее меньшее в соседней таблице – число 300. В конце функция «подтягивает» данные из столбца напротив («Крупная»). Если количество товара «Кофе» = 340 – это «Крупная партия». Важно, чтобы крайний левый столбец таблицы, которая указана в формуле, был отсортирован по возрастанию. В противном случае ВПР не сработает.
Итоги
Функция ВПР означает вертикальный просмотр. Она просматривает крайний левый столбец таблицы сверху вниз.
В этой статье мы сосредоточимся на функции Excel СЧЕТЕСЛИ (COUNTIF в английском варианте), которая предназначена для подсчета ячеек с определённым условием. Сначала мы кратко рассмотрим синтаксис и общее использование, а затем я приведу ряд примеров и предупрежу о возможных причудах при подсчете по нескольким критериям одновременно или же с определёнными типами данных.
По сути,они одинаковы во всех версиях, поэтому вы можете использовать примеры в MS Excel 2016, 2013, 2010 и 2007.
Функция Excel СЧЕТЕСЛИ применяется для подсчета количества ячеек в указанном диапазоне, которые соответствуют определенному условию.
СЧЕТЕСЛИ(диапазон; критерий)
Как видите, здесь только 2 аргумента, оба из которых являются обязательными:
Что нужно обязательно запомнить?
Как видите, синтаксис очень прост. Однако, он допускает множество возможных вариаций условий, в том числе символы подстановки, значения других ячеек и даже другие функции Excel. Это разнообразие делает функцию СЧЕТЕСЛИ действительно мощной и пригодной для многих задач, как вы увидите в следующих примерах.
Примеры работы функции СЧЕТЕСЛИ.
Для подсчета текста.
Давайте разбираться, как это работает. На рисунке ниже вы видите список заказов, выполненных менеджерами. Выражение =СЧЕТЕСЛИ(В2:В22,»Никитенко») подсчитывает, сколько раз этот работник присутствует в списке:
Замечание. Критерий не чувствителен к регистру букв, поэтому можно вводить как прописные, так и строчные буквы.
Если ваши данные содержат несколько вариантов слов, которые вы хотите сосчитать, то вы можете использовать подстановочные знаки для подсчета всех ячеек, содержащих определенное слово, фразу или буквы, как часть их содержимого.
К примеру, в нашей таблице есть несколько заказчиков «Корона» из разных городов. Нам необходимо подсчитать общее количество заказов «Корона» независимо от города.
Мы подсчитали количество заказов, где в наименовании заказчика встречается «коро» в любом регистре. Звездочка (*) используется для поиска ячеек с любой последовательностью начальных и конечных символов, как показано в приведенном выше примере. Если вам нужно заменить какой-либо один символ, введите вместо него знак вопроса (?).
Кроме того, указывать условие прямо в формуле не совсем рационально, так как при необходимости подсчитать какие-то другие значения вам придется корректировать её. А это не слишком удобно.
Рекомендуется условие записывать в какую-либо ячейку и затем ссылаться на нее. Так мы сделали в H9. Также можно употребить подстановочные знаки со ссылками с помощью оператора конкатенации (&). Например, вместо того, чтобы указывать «* Коро *» непосредственно в формуле, вы можете записать его куда-нибудь, и использовать следующую конструкцию для подсчета ячеек, содержащих «Коро»:
Подсчет ячеек, начинающихся или заканчивающихся определенными символами
Вы можете употребить подстановочный знак звездочку (*) или знак вопроса (?) в зависимости от того, какого именно результата вы хотите достичь.
Если вы хотите узнать количество ячеек, которые начинаются или заканчиваются определенным текстом, независимо от того, сколько имеется других символов, используйте:
Если вы ищете количество ячеек, которые начинаются или заканчиваются определенными буквами и содержат точное количество символов, то поставьте вопросительный знак (?):
Примечание. Чтобы узнать количество клеток, содержащих в тексте знак вопроса или звездочку, введите тильду (
?*») будут подсчитаны все позиции, содержащие знак вопроса в диапазоне С2:С22.
Подсчет чисел по условию.
В отношении чисел редко случается, что нужно подсчитать количество их, равных какому-то определённому числу. Тем не менее, укажем, что записать нужно примерно следующее:
Гораздо чаще нужно высчитать количество значений, больших либо меньших определенной величины.
Чтобы подсчитать значения, которые больше, меньше или равны указанному вами числу, вы просто добавляете соответствующий критерий, как показано в таблице ниже.
критерии
Описание
Подсчитайте, где значение больше 5.
Подсчет со числами менее 5.
Определите, сколько раз значение равно 5.
Подсчитайте, сколько раз не равно 5.
Если больше или равно
Подсчет, когда больше или равно 5.
Если меньше или равно
Считаем количество крупных заказов на сумму более 10 000. Обратите внимание, что условие подсчета мы записываем здесь в виде текстовой строки и поэтому заключаем его в двойные кавычки.
Вы также можете использовать все вышеприведенные варианты для подсчета ячеек на основе значения другой ячейки. Вам просто нужно заменить число ссылкой.
Замечание. В случае использования ссылки, вы должны заключить математический оператор в кавычки и добавить амперсанд (&) перед ним. Например, чтобы подсчитать числа в диапазоне D2: D9, превышающие D3, используйте =СЧЕТЕСЛИ(D2:D9,»>»&D3)
Если вы хотите сосчитать записи, которые содержат математический оператор, как часть их содержимого, то есть символ «>», « 5*») будет подсчитывать все позиции в диапазоне D2: D9 с таким содержимым, как «Доставка >5 дней» или «>5 единиц в наличии».
Примеры с датами.
Если вы хотите сосчитать клетки с датами, которые больше, меньше или равны указанной вами дате, вы можете воспользоваться уже знакомым способом, используя формулы, аналогичные тем, которые мы обсуждали чуть выше. Все вышеприведенное работает как для дат, так и для чисел.
Позвольте привести несколько примеров:
критерии
Описание
Даты, равные указанной дате.
Подсчитывает количество ячеек в диапазоне E2:E22 с датой 1 июня 2014 года.
Даты больше или равные другой дате.
Сосчитайте количество ячеек в диапазоне E2:E22 с датой, большей или равной 01.06.2014.
Даты, которые больше или равны дате в другой ячейке, минус X дней.
Определите количество ячеек в диапазоне E2:E22 с датой, большей или равной дате в H2, минус 7 дней.
Помимо этих стандартных способов, вы можете употребить функцию СЧЕТЕСЛИ в сочетании с функциями даты и времени, например, СЕГОДНЯ(), для подсчета ячеек на основе текущей даты.
критерии
Равные текущей дате.
До текущей даты, то есть меньше, чем сегодня.
После текущей даты, т.е. больше, чем сегодня.
Даты, которые должны наступить через неделю.
В определенном диапазоне времени.
Как посчитать количество пустых и непустых ячеек?
Посмотрим, как можно применить функцию СЧЕТЕСЛИ в Excel для подсчета количества пустых или непустых ячеек в указанном диапазоне.
Непустые.
В некоторых руководствах по работе с СЧЕТЕСЛИ вы можете встретить предложения для подсчета непустых ячеек, подобные этому:
Но дело в том, что приведенное выше выражение подсчитывает только клетки, содержащие любые текстовые значения. А это означает, что те из них, что включают даты и числа, будут обрабатываться как пустые (игнорироваться) и не войдут в общий итог!
Если вам нужно универсальное решение для подсчета всех непустых ячеек в указанном диапазоне, то введите:
Также непустые ячейки в диапазоне можно подсчитать:
Пустые.
Считаем клетки, не содержащие текст:
Поскольку звездочка (*) соответствует любой последовательности текстовых символов, в расчет принимаются клетки, не равные *, т.е. не содержащие текста в указанном диапазоне.
Для подсчета пустых клеток (все типы значений):
Конечно, для таких случаев есть и специальная функция
Но не все знают о ее существовании. Но вы теперь в курсе …
Нулевые строки.
Также имейте в виду, что СЧЕТЕСЛИ и СЧИТАТЬПУСТОТЫ считают ячейки с пустыми строками, которые только на первый взгляд выглядят пустыми.
Дело в том, что существует такое понятие, как «строка нулевой длины» (или «нулевая строка»). Нулевая строка возникает, когда программе нужно вставить какое-то значение, а вставить нечего.
Проблемы начинаются тогда, когда вы пытаетесь с ней произвести какие-то математические вычисления (вычитание, деление, умножение и т.д.). Получите сообщение об ошибке #ЗНАЧ!. При этом функции СУММ и СЧЕТ их игнорируют, как будто там находится текст. А внешне там его нет.
Если вы не хотите рассматривать их как пустые, используйте для подсчетареально пустых клеток следующее выражение:
Откуда могут появиться нулевые строки в ячейках? Здесь может быть несколько вариантов:
В итоге, если в Е1 записано что угодно, отличное от 1, программа вернет строку нулевой длины. И если впоследствии формулу заменять значением (Специальная вставка – Значения), то получим нашу псевдо-пустую позицию.
СЧЕТЕСЛИ с несколькими условиями.
Количество чисел в диапазоне
Одним из наиболее распространенных применений функции СЧЕТЕСЛИ с двумя критериями является определение количества чисел в определенном интервале, т.е. меньше X, но больше Y.
Например, вы можете использовать для вычисления ячеек в диапазоне B2: B9, где значение больше 5 и меньше или равно 15:
Количество ячеек с несколькими условиями ИЛИ.
Когда вы хотите найти количество нескольких различных элементов в диапазоне, добавьте 2 или более функций СЧЕТЕСЛИ в выражение. Предположим, у вас есть список покупок, и вы хотите узнать, сколько в нем безалкогольных напитков.
Обратите внимание, что мы включили подстановочный знак (*) во второй критерий. Он используется для вычисления количества всех видов сока в списке.
Как вы понимаете, сюда можно добавить и больше условий.
Использование СЧЕТЕСЛИ для подсчета дубликатов.
1. Ищем дубликаты в одном столбце
Эта простое выражение СЧЁТЕСЛИ($A$2:$A$24;A2)>1 найдет все одинаковые записи в A2: A24.
А другая формула СЧЁТЕСЛИ(B2:B24;ИСТИНА) сообщит вам, сколько существует дубликатов:
Для более наглядного представления найденных совпадений я использовал условное форматирование значения ИСТИНА.
2. Сколько совпадений между двумя столбцами?
Сравним список2 со списком1. В столбце Е берем последовательно каждое значение из списка2 и считаем, сколько раз оно встречается в списке1. Если совпадений ноль, значит это уникальное значение. На рисунке такие выделены цветом при помощи условного форматирования.
Выражение =СЧЁТЕСЛИ($A$2:$A$24;C2) копируем вниз по столбцу Е.
Аналогичный расчет можно сделать и наоборот – брать значения из первого списка и искать дубликаты во втором.
Для того, чтобы просто определить количество дубликатов, можно использовать комбинацию функций СУММПРОИЗВ и СЧЕТЕСЛИ.
Подсчитаем количество уникальных значений в списке2:
Получаем 7 уникальных записей и 16 дубликатов, что и видно на рисунке.
3. Сколько дубликатов и уникальных значений в строке?
Если нужно сосчитать дубликаты или уникальные значения в определенной строке, а не в столбце, используйте одну из следующих формул. Они могут быть полезны, например, для анализа истории розыгрыша лотереи.
Считаем количество дубликатов:
Видим, что 13 выпадало 2 раза.
Подсчитать уникальные значения:
Часто задаваемые вопросы и проблемы.
Я надеюсь, что эти примеры помогли вам почувствовать функцию Excel СЧЕТЕСЛИ. Если вы попробовали какую-либо из приведенных выше формул в своих данных и не смогли заставить их работать или у вас возникла проблема, взгляните на следующие 5 наиболее распространенных проблем. Есть большая вероятность, что вы найдете там ответ или же полезный совет.
Вопрос: Как я могу использовать СЧЕТЕСЛИ для несмежного диапазона или ячеек?
Ответ: Она не работает с несмежными диапазонами, синтаксис не позволяет указывать несколько отдельных ячеек в качестве первого параметра. Вместо этого вы можете использовать комбинацию нескольких функций СЧЕТЕСЛИ:
