Эту логическую задачку 200 лет не могли решить самые выдающиеся математики: прогулка по мостам

Издавна среди жителей старого Кенигсберга была в ходу такая головоломка: как так исхитриться и пройти по всем городским мостам через реку Преголя, чтобы не пройти ни по одному из них дважды. Не один мозг был сломан в попытках решить эту задачу как теоретически, так и во время прогулок. Более того, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто тоже не мог. Попробуйте сами, может вам удастся найти тот самый путь?

Так и жили бедные горожане без решения, пока в 1736 году талантливый во всех смыслах член Петербургской академии наук Леонард Эйлер, внесший существенный вклад в становление российской науки, научно обосновал невозможность решения этой задачи.

Итак, для начала нарисуем упрощенную схему города в виде математического графа. Его ребра у нас будут соответствовать мостам — их всего семь, — а частям города — вершины нашего графа. В процессе решения задачи Эйлер пришел к следующим выводам:

Благодаря семи кенигсбергским мостам Эйлер изобрел математические циклы имени себя. Эйлеров цикл — это замкнутый путь, проходящий через каждое ребро графа ровно по одному разу. Согласно теореме, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный (между любой парой вершин графа есть как минимум один путь) или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины, и в нем отсутствуют вершины нечетной степени.

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более двух вершин нечетной степени.

Но на этом история с семью кенигсбергскими мостами не заканчивается. Решение Эйлера было актуально на протяжении долгого времени, но в 1905 году все изменилось. Существует городская легенда, что на одном из светских приемов группа ученых решила подшутить над самим кайзером — императором Вильгельмом II. Тот пыхтел не один час в попытке решить головоломку, пока не включил императорскую смекалку. Так в Кенигсберге появился восьмой мост, который назвали, естественно, Императорским, а что стало с теми учеными-шутниками доподлинно не известно.

Увы, но восьмой мост был разрушен в ходе бомбардировки во время Второй мировой войны. На его опорах уже в 2005 году был построен Юбилейный мост, чье открытие приурочили к 750-летнему юбилею города.

Источник

Парадигма модульного мышления

Леонард Эйлер. Задача о кенигсбергских мостах

Решение задачи о кенигсбергских мостах, точнее предложенный при этом метод, лежит в основе теории графов. А изложение этого решения можно найти в нескольких письмах Эйлера его коллегам. Например, в письме Карлу Готлибу Элеру от 3 апреля 1736 года. Ниже следует фрагмент этого письма, перепечатанный из книги: Леонард Эйлер. Письма к ученым, М.-Л., 1963.

Наконец, ты, славнейший муж, выражаешь желание ознакомиться с моим способом построения мостов; охотно представляю этот способ на твой суд. Ибо, когда ты попросил у меня решения этой проблемы, приспособленной к частному случаю Кёнигсберга, ты, вероятно, считал, что я предложил такого рода построение мостов, но я не сделал это, а только доказал, что такое построение вообще не может иметь места, и это следует принять вместо решения. Способ же мой является универсальным, так как с его помощью в любом предложенном мне случае этого рода я тотчас могу решить, следует ли строить переход с помощью отдельных мостов или нет, и в первом случае [могу установить], каким образом этот переход следует осуществить. Далее я изложу мой способ, а также опишу путь, которым я к нему пришел.

Я рассмотрел произвольно взятую фигуру разветвления реки, а также мосты а, b, с, d, e, f, как это указано на рис. 1, и установил, что возможен переход, который я представляю следующим образом. Области, отделенные друг от друга водой, я называю буквами А, В, С, и когда предполагается переход через мосты из одной области в другую, [а именно] переход из А в В через мост или а или b, — наиболее удобно назвать [буквами] АВ, из которых первая буква А будет обозначать область, из которой переходят.

Итак, АВСАСАВ будет определять переход, совершаемый через все мосты по одному разу; число этих букв должно быть на единицу больше, чем число мостов; это должно иметь место при любом возможном переходе описанным способом, в чем каждому легче убедиться самому, чем доказывать. Теперь я рассматриваю, сколько раз в ряде букв А, В, С, А, С, А, В должны встретиться буквы ABC, о чем нужно судить по числу мостов, ведущих в каждую из областей. Так, к области А ведут пять мостов: а, b, с, d, e, и сколько раз буква А встречается в середине того ряда, столько раз встречаются два из этих мостов, ибо с одной стороны нужно перейти в область А, с другой стороны — выйти оттуда. Если А встречается или в начале, или в конце того ряда, тогда единственный переход моста соответствует А. Отсюда следует, что, если число мостов, ведущих в область А, будет нечетным, тогда переход через все мосты не может совершиться иначе, чем таким образом, чтобы он или начинался в области А, или заканчивался в области А. А если число мостов, ведущих к А, будет четным, тогда переход может быть совершен и без этого условия, чтобы начинаться или заканчиваться в А, но если он начинается в А, то должен будет там же и закончиться. Отсюда вытекает, что в ряде АВСАСАВ любая буква, за исключением первой и последней, обозначает переход, ведущий через два моста в область, обозначенную этой буквой.

Следовательно, надо держаться следующего правила: если на каком-либо рисунке число мостов, ведущих в некоторую область, будет нечетным, тогда желаемый переход через все мосты одновременно не может быть осуществлен иначе, как если переход или начинается, или заканчивается в этой области. А если число мостов четное, отсюда не может возникнуть никакого затруднения, так как ни начало, ни конец перехода при этом не фиксируются. Отсюда следует такое общее правило: если будет больше чем две области, к которым ведет нечетное количество мостов, тогда желательный переход вообще не может быть совершен. Ибо представляется совершенно невозможным, чтобы переход и начинался, и заканчивался в какой-нибудь одной из этих областей. А если будут только две области такого рода (так как не могут быть даны одна область этого рода или нечетное число областей), тогда может быть совершен переход через все мосты, но с таким условием, чтобы начало перехода было в одной, а конец в другой из этих областей. Когда в предложенной фигуре А и В есть области, к которым ведет нечетное число мостов, а число мостов, ведущих к С, является четным, то я считаю, что переход или построение мостов может иметь место, если переход начинается или из А, или из В, а если же кто-нибудь пожелает начать переход из С, то он никогда не сможет достигнуть цели. В расположении кенигсбергских мостов я имею четыре области А, В, С, D, взаимно отделенные друг от друга водой, к каждой из которых ведет нечетное число мостов (рис. 2).

Таким образом, поскольку есть больше чем две области, к которым ведет нечетное число мостов, я утверждаю, что я доказал полную невозможность такого соединения мостов. Итак, с помощью очень легкого правила можно почти мгновенно определить для любой фигуры, допускается ли такого рода построение мостов, при котором переход будет происходить только через все мосты одновременно, или нет? Ибо возможным будет построение, если и не будет никакой области, или будут только две, к которым ведет нечетное число мостов; в таких случаях начало перехода выбирается произвольно, но там же должен быть и конец перехода. В последнем же случае начало перехода должно иметь место в одной из тех областей, а конец — в другой. Построение невозможно, если будет более чем две области, к которым поведет нечетное число мостов.

Следовательно, ты можешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешаются математиками, чем другими [учеными]. Между тем ты, славнейший муж, определяешь место этого вопроса в геометрии положения, и что касается этой новой науки, то, признаюсь, мне неизвестно, какого рода относящиеся сюда задачи желательны были Лейбницу и Вольфу. Итак, я прошу тебя, если ты считаешь, что я способен нечто создать в этой новой науке, чтобы ты соблаговолил мне прислать несколько определенных, относящихся к ней задач.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Кенигсберг был построен на берегу реки Прегель (Преголя), которая разделила город на четыре отдельных жилых массива. Люди перебирались из одного района в другой через семь различных мостов. Согласно легенде, популярным развлечением во время воскресных прогулок были попытки пройти через весь город так, чтобы пересечь каждый мост только один раз. Никто так и не придумал, как это сделать, но это вовсе не значит, что задача не имеет решения.

Им просто нужно было обратиться к подходящему эксперту, чтобы узнать его.

В 1735 году мэр города Данцига (ныне польский Гданьск), расположенного в 120 километрах к западу от Кенигсберга, Карл Леонард Готлиб Эйлер, обратился к Леонарду Эйлеру с письмом, в котором просил о помощи в решении этой задачи от имени местного профессора математики по имени Генрих Кюн. Уже тогда Эйлер был знаменитым и весьма успешным математиком – он опубликовал свою первую книгу в течение года после этого письма, а за всю жизнь написал более 500 книг и статей.

Поэтому неудивительно, что сначала Эйлер подумал, что заниматься решением этой задачи ниже его достоинства, и написал в ответ: «Итак, вы видите, досточтимый сэр этот тип решения практически не имеет отношения к математике, и я не понимаю, почему вы обращаетесь с такой просьбой к математику, а не к кому-то еще, поскольку решение основано только на здравом смысле и не зависит ни от одного из известных математических принципов».

Однако, в конце концов, Элеру и Кюну удалось убедить Эйлера, и он понял, что это был совершенно новый тип математики – «геометрия положений», сегодня известная как топология. В топологии точная форма или расположение объекта не имеют значения. Есть даже старая шутка о том, что тополог не в состоянии определить разницу между пончиком и кофейной чашкой, поскольку оба предмета имеют ровно одно отверстие. Об этой совершенно новой области математики до тех пор только писали, но никто еще не понимал, какие проблемы она способна решать. Семь мостов Кенигсберга были прекрасным экспериментальным подтверждением новой теории, поскольку задача не требовала каких-либо измерений или точных расчетов. Можно превратить сложную карту города в простой и понятный граф (схему), не теряя при этом никакой важной информации.

Хотя у кого-то может возникнуть соблазн решить эту задачу, наметив все возможные маршруты через город, Эйлер сразу осознал, что эта стратегия потребует слишком много времени и не будет работать с другими схожими задачами (что, если в другом городе будет, скажем, двенадцать мостов?). Вместо этого он решил на время отвлечься от мостов и пометил участки суши буквами A, B, C и D. Таким образом, он теперь мог описать путешествие через мост из района А в район В как АВ, а путешествие из района А через район В район D как АВD. Здесь важно отметить, что количество букв в описании маршрута всегда будет на единицу больше, чем количество пересекаемых мостов. Так, маршрут АВ пересекает один мост, а маршрут АВD – два моста, и так далее. Эйлер понял, что поскольку в Кенигсберге семь мостов, а для того, чтобы пересечь их все, маршрут должен состоять из восьми букв, значит, решение задачи потребует именно восьми букв.

Затем он придумал более общее правило, используя еще более упрощенную схему. Если бы у вас было всего два сухопутных участка, А и В, и вы пересекали мост один раз, то участок А мог бы быть там, где путешествие начиналось, или там, где оно заканчивалось, но вы находились бы на участке А только однажды. Если бы вы пересекали мосты а, b и c по одному разу, то оказались бы на участке А ровно два раза. Это привело к созданию удобного правила: если у вас имеется четное число мостов, ведущих на один участок суши, вы должны добавить к этому числу единицу, а затем разделить полученную сумму на два, чтобы выяснить, сколько раз этот участок должен использоваться в ходе путешествия. (в данном примере, добавив единицу к количеству мостов, то есть к 3, получаем четыре, а разделив четыре на два получаем два, то есть именно дважды в путешествии пересекается участок А).

Этот результат вернул Эйлера к первоначальной проблеме. Есть пять мостов, которые ведут к участку А, поэтому в восьмибуквенном решении, которое он ищет, его придется пересекать три раза. У участков В, С и D есть по два моста, которые ведут к ним, поэтому каждый из них должен пересекаться дважды. Но 3+2+2+2 – это 9, а не 8, хотя по условию нужно пройти только через 8 участков и пересечь 7 мостов. Это означает, что невозможно пройти через весь город Кенигсберг, использовав каждый мост ровно один раз. Другими словами, в данном случае задача не имеет решения.

Однако, как и всякий истинный математик, Эйлер на этом не остановился. Он продолжал работать и создал более общее правило для других городов с другим количеством мостов. Если в городе нечетное количество мостов, то существует простой способ выяснить, можете ли вы совершить такое путешествие или нет: если сумма количества появлений каждой буквы, обозначающей участок земли, на единицу больше, чем количество мостов (как, например, в восьмибуквенном решении, о котором упоминалось ранее), такое путешествие возможно. Если же сумма больше этого числа, оно невозможно.

А как насчет четного количества мостов? В этом случае все зависит от того, с чего начать. Если вы начинаете с участка А и путешествуете по двум мостам, А в вашем решении появится дважды. Если вы начнете с другой стороны, то А появится только один раз. Если имеется четыре моста, тогда А появляется три раза, если этот участок был отправной точкой, или два раза, если не был. В общем виде это означает, что, если путешествие не начинается с участка А, он должен пересекаться вдвое меньшее количество раз, чем число мостов (четыре деленное на два дает два). Если же путешествие начинается с участка А, тогда он должен пересекаться на один раз больше.

Гениальность решения Эйлера заключается даже не в ответе, а в методе, который он применил. Это был один из первых случаев использования теории графов, также известной как теория сетей, весьма востребованной области математики в современном мире, заполненном транспортными, социальными и электронными сетями. Что касается Кенигсберга, в городе в конечном итоге появился еще один мост, который сделал решение Эйлера спорным, а затем британские войска разрушили большую часть города во время второй мировой войны. Сегодня и город и река имеют новые названия, но старинная задача живет в совершенно новой области математики.

Источник

Проблема семи мостов Кёнигсберга

Проблема семи мостов Кёнигсберга или Задача о кёнигсбергских мостах (нем. Königsberger Brückenproblem ) — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 году немецким и русским математиком Леонардом Эйлером.

Содержание

История

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Ответ был «нельзя».

Решение задачи по Леонарду Эйлеру

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Источник

Основы теории графов, задача о Кенигсбергских мостах (Л. Эйлер)