как найти отношение десятичных дробей

Повторение курса

1. Десятичная дробь – это форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д.

Например, 1/100 = 0,01; 7/10 = 0,7 ; 19/1000 = 0,019

2. Запятая в десятичной дроби отделяет:

— целую часть от дробной;

— столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.

3. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой в десятичной дроби.

4. Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?

1 способ (хорошо работает, когда в знаменателе дроби: 2, 5, 20, 25… и т. д., то есть когда сразу понятно, на что надо умножать): домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.

2 способ: поделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби).

5. Сложение и вычитание десятичных дробей:

Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) натуральных чисел, в столбик: главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом. Например:

6. Умножение десятичных дробей (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби/умножение десятичных дробей):

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно умножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом множителе и во втором множителе, а затем отделить полученное количество знаков в произведении, считая справа налево. Например:

7. Деление десятичных дробей (см. раздел сайта: 5 класс/десятичные дроби/деление десятичных дробей):

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую в делителе вправо на столько позиций, пока он не станет целым. Потом на столько же позиций перенести запятую в делимом. Затем разделить получившиеся числа как обычно, в столбик. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом. Например:

1. Вычислите:

2. Найдите значение выражения:

3. В летнем лагере за смену в 28 дней израсходовали 1 т картофеля. В первые 12 дней расход картофеля составил 38 кг в день. Каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, если каждый день он будет одинаковым?

4. Найдите истинные высказывания. Расположите соответствующие им ответы в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруйте астрономический термин. Примеры, в которых допущена ошибка, решите правильно и запишите их в тетрадь.

Н 0,25 + 0,5 = 0,3 Б 0,5 * 3 = 0,15 Т 3,6 : 9 = 0,4

О 3,28 + 1,3 = 4,58 И 4 * 1,7 = 6,8 Я 12,3 : 5 = 24,6

Е=40,4 ; Д=36 ; С=8 ; Н=567 ; У=684,18 ; Л=636 ; Б=728 ; И=872.

7. Соком этого растения был отравлен король датский, отец Гамлета. Сейчас оно входит в состав мазей для лечения простуды, бронхита, плеврита, т. к. вещества, входящие в его состав, оказывают спазмолитическое действие. Что это за растение? (Результат каждого действия даёт букву.)

А=842,4 ; К=844,2 ; Е=23,2; С=93,5 ; Е=9,8 ; О=84,24 ; Н=82,124 ; Б=83,244 ; Л=39,244 ; Я=83,2.

8. Этого симпатичного зверька на латыни именовали «королём зелени». Назовите его:

Б=26 ; О=2,06 ; В=2,6 ; И=66,284 ; А=681,38 ; Л=9,08 ; А=9,8 ; Ц=98 ; Н=229,5 ; Е=0,3203 ; Р=22,95 ; К=32,03 ; К=30.

9. Выполните действия и округлите полученный результат с точностью:

Источник

Десятичные дроби

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:

Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

Источник

Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №2 «Отношения и пропорции. Десятичные дроби»

Урок 2. Отношения и пропорции. Десятичные дроби.

Понятия отношения и пропорции

Отношением двух чисел называется их частное. Пример: и т.д. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.
Пропорцией называется равенство двух отношений. Пример: . Это читается: a относится к b так же как c относится к d. Величины a и d стоят «по краям» пропорции – они называются крайними, величины b и c в свою очередь называются средними.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Из основного свойства вытекает: чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
Пример: толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3,3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?
Решение: пусть x см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Логика составления пропорции: пачке из 300 листов соответствует толщина в 3,3см, тогда пачке из 500 листов соответствует толщина в x см:

По основному свойству пропорции:

Ответ: пачка из 500 листов имеет толщину 5,5 см.

Понятие десятичной дроби. Операции над десятичными дробями

Десятичной дробью называют обыкновенную дробь, знаменатель которой кратен десяти (т.е. 10, 100, 1000 и т.д.), дробная часть записывается через запятую после целой части. Пример: и т.д.
Арифметические операции над конечными непериодическими десятичными дробями выполняются аналогично тем же операциям с целыми числами – «в столбик»:
1. Сложение и вычитание. Важно подписывать разряд под разрядом как в целой части, так и в дробной. Если десятичных разрядов не хватает (как в числах 9,18 и 3,13 в дальнейшем примере), они заменяются нолями, эти нули не пишут при письменном выполнении действий.
Пример:

или

Умножение. При записи чисел запятые не учитываются, записывается последняя цифра под последней, не зависимо от разрядов. Далее выполняется обыкновенное умножение «в столбик», в результате отделяется дробная часть – она составляет столько знаков, сколько суммарно содержат множители.
Пример: вычислить 7,05•5,4.
Решение:

В результате нужно отделить три десятичных знака, т.к. у первого множителя два знака после запятой, у второго один – в сумме три.
Ответ: 7,05•5,4=38,070=38,07.
3. Деление. Перед тем, как делить десятичные дроби, делимое и делитель нужно домножить на такое одинаковое число (10, 100, 1000 и т.д.), чтобы оба они стали целыми числами.
Пример: вычислить 48,18:0,3.
Решение: Нужно оба числа умножить на 100: 48,18:0,3=4818:30.

Сравнение десятичных дробей можно выполнить двумя способами: сравнить соответствующие заданным дробям обыкновенные дроби или выполнить поразрядное сравнение. Поразрядное сравнение десятичных дробей аналогично сравнению натуральных чисел. Сравнение значений разрядов выполняется от старшего разряда к младшему. Та дробь, в старшем сравниваемом разряде которой стоит большее число, будет больше.
Пример: Сравнить 4,18 и 4,187.
Решение: Целая часть одинакова, первые два разряда дробной части одинаковы, нужно сравнить третий разряд. У первой дроби он равен нулю, у второй семи. 7>0⇒4,187>4,18.
Ответ: 4,187>4,18.

Связь между обыкновенными и десятичными дробями.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно выполнить деление в столбик – в случае если знаменатель дроби не кратен десяти и при разложении на простые множители содержит любые числа кроме 2 и 5.
Если же знаменатель является степенью 10 или может стать таковым при домножении числителя и знаменателя дроби на некоторое число, то перевод осуществляется проще: запятая в числителе обыкновенной дроби перемещается влево на столько порядков, сколько нулей в знаменателе.
Примеры:
1. …

2. и т.д.
3.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, нужно ее дробную часть записать в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. и сократить (если возможно).
Пример:

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. При этом повторяющуюся последовательность цифр принято записывать в скобках.
Пример: 3,03030303…=3,(03);1,666…=1,(6);2,015333…=2,015(3)

Округление

Десятичную дробь можно округлить как до целого числа, так и до любого дробного разряда.
Алгоритм округления: подчеркнуть цифру округляемого разряда; если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчёркнутую цифру оставить без изменений, а все цифры справа от нее отбросить. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличить на единицу, а все цифры справа от нее отбросить.
Пример: округлить до сотых 3,1542 и 0,0192.
Решение: 3,1542=3,15 (в сотых стоит цифра пять, справа от нее цифра 4 – пятерка остается без изменений, четверка и двойка отбрасываются).
0,0192=0,02 (в сотых стоит цифра 1, справа от нее цифра 9 – единица увеличивается на один – превращается в двойку, девятка и двойка отбрасываются).

Тесты подготовки к ЗНО:
Онлайн-тест подготовки к ЗНО по математике №2 «Отношения и пропорции. Десятичные дроби»

Источник

Заменить отношение дробных чисел отношением натуральных чисел

Рассмотрим на примерах, как заменить отношение дробных чисел отношением натуральных чисел.

Чтобы преобразовать отношение дробных чисел, можно либо разделить эти числа, либо воспользоваться основным свойством отношений:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Заменить отношение дробных чисел отношением натуральных чисел:

Делим числа. (Чтобы разделить число на дробь, данное число умножаем на число, обратное дроби).

В частном получили отношение натуральных чисел. Его можно также записать в виде 9:5, но переходить к такой форме записи необязательно.

63 и 45 сокращаем на 9, 64 и 56 — на 8. В частном — отношение натуральных чисел.

Чтобы разделить смешанные числа, переводим их в неправильные дроби и делимое умножаем на число, обратное делителю.

14 и 35 сокращаем на 7, 9 и 27 — на 9. Частное — отношение натуральных чисел.

В этом примере удобно и числитель, и знаменатель умножить на 10. Полученное отношение натуральных чисел сокращаем сначала на 7, затем — на 2 (или сразу на 14).

Здесь и числитель, и знаменатель умножаем на 100, затем последовательно сокращаем дробь на 64 и на 2.

Источник

Десятичные дроби — для чайников

Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.

Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.

Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.

Десятичные дроби — коротко о главном

1. Определение

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени.

2. Конечная и бесконечная десятичная дробь

Десятичная дробь может быть:

3. Свойства десятичных дробей

4. Сложение десятичных дробей

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.

5. Вычитание десятичных дробей

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:

6. Умножение десятичных дробей

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

7. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число

Деление десятичных дробей друг на друга

Десятичные дроби — подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, \( \displaystyle \frac<1><3>,\ \frac<1><4>,\frac<5><112>\).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби \( \displaystyle \frac<8><10>,\ \frac<13><100>,\frac<49><1000>\) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

А теперь прочитаем все вместе – «\( 46\) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат \( 10\) на \( 10\) и закрась какую-нибудь его часть равную:

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат \( 10\) на \( 10\) состоит из \( 100\) клеточек. Соответственно, \( 0.05\) – \( 5\) клеточек из \( 100\); \( 0,4\) – \( 40\) клеточек из \( 100\) и так далее.

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

Виды десятичных дробей

Десятичная дробь может быть:

Поговорим сначала о конечных дробях.

Конечная десятичная дробь

Само собой понятно, что дроби \( \displaystyle \frac<8><10>,\ \frac<13><100>,\frac<49><1000>\) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: \( \displaystyle \frac<1><4>\)? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:

То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и так далее.

Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

Сравним наши ответы:

Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.

Бесконечная десятичная дробь

Итак, бери калькулятор и дели \( 1\) на \( 17\). Поделил? Ты получил \( 0,05882352941\) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).

Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к \( <<10>^>\), с учетом, что \( n\) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – \( n\to +\infty \)

Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.

Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как \( \displaystyle \frac<1><17>\).

Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число \( \pi \) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что \( \pi =3,14\), но это далеко не так. Число \( \pi \) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа \( \pi \). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа \( \pi \) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:

Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.

Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь \( \displaystyle \frac<1><3>\). Что у тебя получилось?

Чтобы не повторять число \( 3\) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:

Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.

Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:

\( \displaystyle \frac<1><3>=0,\underbrace<3>_<период>33333333….=0,\left( 3 \right)\)

\( \displaystyle \frac<1><7>=0,\underbrace<142857>_<<период>>\underbrace<142857>_<период>142…=0,\left( 142857 \right)\)

Важно, что период не может начинаться слева от запятой:

\( \displaystyle \frac<100><7>=\underbrace<14,2857>_<не период>1428571428571…=14,\left( 285714 \right)\).

Источник