как определить тройка векторов правая или левая

Как определить тройка векторов правая или левая

Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.

Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого

Свойства скалярного произведения:

Пример 1. Найти угол между векторами.

Свойства векторного произведения:

= как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Пример 3. Проверка компланарности векторов.

Пример 4. Принадлежность 4 точек одной плоскости.

Пример 5. Вычислить объем тетраэдра и его высоту.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Векторное произведение векторов

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Затем векторное произведение:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Вычислим его длину:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Источник

Хелпа по матану 2

06 Oct 2015 в 18:03

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:03 #1

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:14 #2

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:14 #3

Омг, неужели в доту играют только шк

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:16 #4

А ты думал здесь только люди знающие математику сидят? Иди на математические форумы

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:16 #5

Тем что она правая?

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:16 #6

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:17 #7

чёт не понял ничего, рисунок векторов где?

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:21 #8

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:22 #9

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:35 #10

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Для левой руки левая.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:41 #11

еще дауны, не сильно далеко ушедшие от шк по развитию и не умеющие в гугл

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:45 #12

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:46 #13

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Научным языком: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой. (спасибо Википедии за это)

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

06 Oct 2015 в 18:52 #14

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Научным языком: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой. (спасибо Википедии за это)

Источник

Определение векторного произведения

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Свойства векторного произведения

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = ( a x ; a y ; a z ) и b → = ( b x ; b y ; b z ) .

Рассмотрим следующие примеры.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Геометрический смысл векторного произведения

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Источник

Правые и левые тройки векторов

Определение. Три некомпланарных вектора как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, взятых в указанном порядке и приложенных в одной точке, называют тройкой векторов a, b, c.

Определение. Декартова прямоугольная система координат называется правой, если тройка базисных векторов i, j, k является правой и называется левой, если эта тройка левая. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение обозначают также a×b.

Из условия 1) определения следует, что

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Тогда

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

где e — единичный вектор направления вектора [a, b].

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Доказательство. □ Если вектора a и b коллинеарны, то φ=0 или φ=π, тогда sin φ=0, следовательно, |[a, b]|=0, а значит [a, b]=o.

Обратно, если выполнено равенство [a, b]=0 и a≠0, b≠0, то φ=0 или φ=π, следовательно, вектора a и b коллинеарны. ■

Свойства векторного произведения

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Замечание. Эту формулу можно выразить через символический определитель третьего порядка:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Следствие. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, вычисляется по формуле

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Следствие. Площадь треугольника ABC определяется формулой:

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Смешанное произведение векторов

Теорема [геометрический смысл смешанного произведения]. Смешанное произведение [a, b]c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, взятому со знаком плюс, если тройка (a, b, c) — правая, со знаком минус, если эта тройка — левая.

Доказательство. □Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая, лежащих в основании указанного параллелепипеда. Его площадь S=|[a,b]|, тогда можем написать [a, b]=Se, следовательно, [a, b]c=(Se)c=S(ec). Найдем ec = |e| prec = prec. С другой стороны prech, где h — высота параллелепипеда, опущенная на основание OADB. Знак плюс получается, если (a, b, c) — правая тройка, знак минус, если эта тройка левая. Тогда

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Следствие. Векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Следствие. Справедливо равенство

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Замечание 1. Так как верно это следствие, то смешанное произведение обозначают abc.

Замечание 2. Для трех векторов a, b, c имеем

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

Теорема. Смешанное произведение трех векторов

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть фото как определить тройка векторов правая или левая. Смотреть картинку как определить тройка векторов правая или левая. Картинка про как определить тройка векторов правая или левая. Фото как определить тройка векторов правая или левая

— это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. ■

Следствие [Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов]. Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда выполняется

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *