как по отношению к траектории направлена скорость точки
iSopromat.ru
Скоростью точки называют кинематическую меру ее движения, равную производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.
Скорость относительно выбранной системы отсчета это одна из основных характеристик движения точки.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δ t:
средняя скорость точки за промежуток времени D t.
Наш видеоурок по теме:
Скорость точки в данный момент времени
Скорость точки при векторном способе задания движения
Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени t1 определяется радиус-вектором r.
В другой момент времени t1=t+Δt точка займет положение М1 с радиус-вектором r1.
За время Δt радиус-вектор движущейся точки изменится на
Средней скоростью vср называется отношение изменения радиус-вектора Δr к изменению времени Δt.
Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.
Скорость точки при координатном способе задания движения
Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие, параллельные осям координат. Получим
Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки.
Модуль скорости и направляющие косинусы равны:
Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:
Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда
Скорость точки при естественном способе задания движения
Пусть скорость точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t).
Вычислим скорость точки. Используем радиус-вектор r. движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке O1
— единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.
При ds>0 направления векторов τ и dr совпадают.
Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то ds
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Основы механики для чайников. Часть 1: Кинематика
В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.
Траектория, радиус-вектор, закон движения тела
Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.
Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.
Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.
Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.
Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат (или радиус-вектора точки) от времени.
Перемещение и путь
Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.
В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.
Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.
Скорость и ускорение
Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло
А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.
Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду
Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.
Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости
Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.
Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории
Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.
Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.
Закон равноускоренного движения
Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.
Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.
Пример решения задачи
Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.
Тема 1.6. Основные понятия кинематики
§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.
Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.
Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.
Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.
Рис.1. Система отчета
Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).
Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.
Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.
Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).
Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.
Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.
Рис.2. Радиус-вектор
Рис.3. Координаты точки М
Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.
Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.
В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».
Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.
В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.
где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).
Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.
Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.
Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:
Видео-урок «Механическое движение»
§2. Способы задания движения точки
Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки.
Рис.4. Движение точки М
При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:
Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки.
Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости
Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.
3. Естественный способ задания движения точки.
Рис.5. Движение точки М
Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси).
Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).
§3. Вектор скорости точки
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.
Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.
Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.
Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.
Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.
Кинематика материальной точки
Основные формулы кинематики материальной точки
Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.
Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.
Радиус кривизны траектории:
.
Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.
Радиус-вектор и траектория точки
Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.
Скорость материальной точки
Согласно определению скорости и определению производной:
Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
,
где
,
,
– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.
Таким образом
.
Модуль скорости:
.
Касательная к траектории
Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
, то:
.
Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
;
Алгебраическая величина скорости:
.
Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.
Ускорение материальной точки
Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.
Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения
Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.
Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.
Тангенциальное (касательное) ускорение
Радиус кривизны траектории
Нормальное ускорение
Выпишем еще раз следующую формулу:
.
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.
Радиус кривизны траектории:
.
И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.
Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.
Кинематика
Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.
Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.
Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если
Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.
Важно!
В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно.
При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.
Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.
Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.
Механическое движение и его виды
Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение может быть:
1. по характеру движения
2. по виду траектории
Относительность механического движения
Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.
Правило сложения перемещений
Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:
где \( S \) — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
\( S_1 \) — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
\( S_2 \) — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
Правило сложения скоростей
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:
где \( v \) — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
\( v_1 \) — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
\( v_2 \) — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
Относительная скорость
Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.
Пусть \( v_1 \) — скорость первого тела, а \( v_2 \) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго \( v_ <12>\) :
Определим скорость второго тела относительно первого \( v_ <21>\) :
Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.
Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:
Если скорости направлены под углом \( \alpha \) друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:
Скорость
Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.
Обозначение — \( v \) , единицы измерения — м/с (км/ч).
Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:
Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:
Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.
Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.
Ускорение
Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
где \( v \) – конечная скорость; \( v_0 \) – начальная скорость;
\( t \) – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.
В проекциях на ось ОХ:
где \( a_n \) – нормальное ускорение, \( a_ <\tau>\) – тангенциальное ускорение.
Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:
Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.
Важно!
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.
Если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) = 0, то тело движется по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = 0, \( v \) ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если \( a_ <\tau>\) = 0, \( a_n \) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если \( a_ <\tau>\) ≠ 0, \( a_n \) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.
Равномерное движение
Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:
Проекция вектора скорости на ось ОХ:
Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:
График скорости (проекции скорости)
График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:
График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью \( t \) , тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью \( t \) , тело движется против оси ОХ.
Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:
Проекция вектора перемещения на ось ОХ:
График перемещения (проекции перемещения)
График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:
Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:
График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: \( x=x(t) \) .
График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:
График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:
Прямолинейное равноускоренное движение
Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:
При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.
Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
При разгоне (в проекциях на ось ОХ):
При торможении (в проекциях на ось ОХ):
График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:
График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, \( a_x \) > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, \( a_x \) \( v_ <0x>\) > 0, \( a_x \) > 0.
График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, \( v_ <0x>\) > 0, \( a_x \) \( v_ <0x>\) \( a_x \) \( t_2-t_1 \) . Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).
Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:
Перемещение в \( n \) -ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
Свободное падение (ускорение свободного падения)
Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.
Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).
Движение тела по вертикали
Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:
Если тело падает вниз без начальной скорости, то \( v_0 \) = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:
Тело брошено вверх:
Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то \( v \) = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:
Движение тела, брошенного горизонтально
Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:
Скорость тела в любой момент времени:
Угол между вектором скорости и осью ОХ:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:
Скорость тела в любой момент времени:
Угол между вектором скорости и осью ОХ:
Время подъема на максимальную высоту:
Максимальная высота подъема:
Максимальная дальность полета:
Важно!
При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно.
При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.
Скорость \( v_0 \) , с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю. Угол \( \alpha \) , под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.
При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:
Это облегчает решение задач:
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.
Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.
Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – \( T \) , единицы измерения – с.
где \( N \) – количество оборотов, \( t \) – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – \( \nu \) , единицы измерения – с –1 (Гц).
Период и частота – взаимно обратные величины:
Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – \( v \) , единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:
Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика).
Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.
Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:
Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:
Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:
Мгновенная скорость нижней точки \( (m) \) равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке \( (n) \) равна удвоенной скорости \( v_1 \) , мгновенная скорость точки \( (p) \) , лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке \( (c) \) – по теореме косинусов.