как привести квадратичную форму к каноническому виду методом лагранжа

Квадратичная форма

Определение

Пример. Функции

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Пример. Привести форму

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

Пример. Для

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

Формула Якоби

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Ранг квадратичной формы

Теорема. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных заменах переменных:

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Закон инерции

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Справедливо и более общее утверждение.

Конгруэнтность квадратичных форм

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Знакоопределенность

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Квадратичная форма

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Геометрия замен переменных

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Источник

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.

Пусть дана квадратичная форма

Напомним, что, ввиду симметричности матрицы

,

Возможны два случая:

1.Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2.Все коэффициенты,

но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).

В первом случаепреобразуем квадратичную форму следующим образом:

,

где ,

а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от (n—1) переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Второй случайзаменой переменных

сводится к первому.

Пример 1:Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)

или (3)

или (4)

и от неизвестных формапримет вид. Далее полагаем

или

и от неизвестных формапримет уже канонический вид

. (4)

Разрешим равенства (3) относительно :

или

Последовательное выполнение линейных преобразований и, где

,

Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (4). Переменныесвязаны с новыми переменнымисоотношениями

См также ссылку http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonicheskomu-vidu

Вспомним утверждения из практикума 2_1

Утверждения (см.Л.5, стр. 176)

Если A- симметричная матрица, то из следует, что

Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.

А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)

Ax=X.’*A*X % получаем квадратичную форму

Ax=simple(Ax) % упрощаем ее

% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A

% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду

%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3

% U получается из A U3=M1*A,

M1=[1 0 0;0.5 1 0;-0.5 0 1]

% вот такой матрицей элементарных преобразований

%мы получим U3=M1*A, где

% из M1 легко получить L1, поменяв знаки

% в первом столбце во всех строках кроме первой.

L1=[1 0 0;-0.5 1 0;0.5 0 1]

A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение

isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A

% это коэффициенты при квадратах y_i^2

% в преобразованной квадратичной форме

% в нашем случае, есть один только коэффициент

% при остальных 0y₂ 2 и 0y₃ 2 коэффициенты равны нулю

% по первому столбцу видим y1=x1-0.5×2+0.5×3

% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.

% если транспонировать L1,

% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы

Источник

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.

Пусть дана квадратичная форма

Напомним, что, ввиду симметричности матрицы

,

Возможны два случая:

1.Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2.Все коэффициенты,

но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).

В первом случаепреобразуем квадратичную форму следующим образом:

,

где ,

а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от (n—1) переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Второй случайзаменой переменных

сводится к первому.

Пример 1:Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)

или (3)

или (4)

и от неизвестных формапримет вид. Далее полагаем

или

и от неизвестных формапримет уже канонический вид

. (4)

Разрешим равенства (3) относительно :

или

Последовательное выполнение линейных преобразований и, где

,

Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (4). Переменные связаны с новыми переменнымисоотношениями

См также ссылку http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonicheskomu-vidu

Вспомним утверждения из практикума 2_1

Утверждения(см.Л.5, стр. 176)

Если A- симметричная матрица, то из следует, что

Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.

А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)

Ax=X.’*A*X % получаем квадратичную форму

Ax=simple(Ax) % упрощаем ее

% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A

% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду

%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3

% U получается из A U3=M1*A,

M1=[1 0 0;0.5 1 0;-0.5 0 1]

% вот такой матрицей элементарных преобразований

%мы получим U3=M1*A, где

% из M1 легко получить L1, поменяв знаки

% в первом столбце во всех строках кроме первой.

L1=[1 0 0;-0.5 1 0;0.5 0 1]

A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение

isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A

% это коэффициенты при квадратах y_i^2

% в преобразованной квадратичной форме

% в нашем случае, есть один только коэффициент

% при остальных 0y₂ 2 и 0y₃ 2 коэффициенты равны нулю

% по первому столбцу видим y1=x1-0.5×2+0.5×3

% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.

% если транспонировать L1,

% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы

Источник