как рассчитать площадь фигуры неправильной формы

Площадь неправильного четырехугольника

Узнайте чему равна площадь неправильного четырехугольника с помощью онлайн-калькулятора или по формулам — расчет по сторонам, диагоналям, углам.

С помощью данного калькулятора вы можете легко и быстро рассчитать площадь неправильного четырехугольника в условных единицах. Инструмент позволяет определить площадь выпуклой фигуры тремя разными способами: по сторонам, сторонам и углам, диагоналям и углам (первые два вычисления выполняются с ограничениями). Теоретическое обоснование расчета и формулы представлены ниже. Чтобы получить результат — выберите наиболее подходящий метод расчета, заполните поля калькулятора и нажмите кнопку «Рассчитать».

Как найти площадь неправильного четырехугольника?

Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты (рис. 1), которая выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Эта формула является обобщением формулы Герона для площади треугольника.

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Вторая формула также основывается на формуле Брахмагупты, но на ее расширенной версии (рис. 2), когда необходимо найти площадь произвольного четырехугольника.

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон, θ — полусумма противоположных углов четырёхугольника.

В формулах Брахмагупты есть одно ограничение — любая из сторон не может превышать полупериметр. В противном случае стороны четырехугольника не замкнутся. Математически, в формуле появится отрицательное значение.

Последняя формула позволяет найти площадь не самопересекающейся фигуры по проведенным диагоналям и синусу угла между ними (рис. 3). По сути, формула основывается на сумме площадей треугольников, которые образуются диагоналями четырехугольника.

Источник

Площадь фигур

Площадь фигуры является суммарной числовой характеристикой всех единичных квадратных элементов плоскости. В зависимости от размера фигур стороны квадрата единичного элемента могут быть равны 1 мм, см, м, дюйму, км и пр. S фигур могут измеряться в следующих единицах измерения: мм2, см2, м2, гектарах, квадратных километрах и пр.

Вычислить, найти площадь геометрических фигур

Площадь фигуры сложной формы может составляться из различных элементарных фигур: треугольников, квадратов, прямоугольников и пр. Общая площадь будет высчитываться путем суммирования площадей составляющих компонент.

Набор онлайн-калькуляторов страницы дает возможность оперативного вычисления не только S плоских фигур (квадрата, прямоугольника, круга, ромба, эллипса), но и площадей объемных фигур (куба, призмы, конуса, цилиндра, сферы, тетраэдра и пр.), являющихся совокупностью нескольких плоскостей.

Вычисление площадей фигур востребовано для решения различных задач:
— строительных;
— кадастровых;
— инженерных и пр.

Государство осуществляет кадастровый учет земельных участков, основным учитываемым параметром которых является площадь. Специалистами БТИ фиксируется общая и полезная жилая площадь квартир. В быту иногда нужно вычислять площадь ковра, натяжного потолка, площадь дачного участка и пр.

Источник

TL; DR (слишком долго; не читал)

Соберите свои инструменты

Соберите формулы для форм, с которыми вы уже знакомы. Наиболее распространенные формы и их формулы включают в себя:

Подразделить неправильную форму

Используйте свое воображение, чтобы разделить имеющуюся неправильную форму на более привычные формы. Иногда рисуя форму, затем добавляя линии для подразделений, вы можете визуализировать ее и отслеживать соответствующие измерения для каждого измерения. Например, представьте, что вам нужно найти область пятигранной формы, которая не является шестиугольником, но имеет три перпендикулярные стороны, противоположные «точке». Немного подумав, вы можете разделить это на прямоугольник, который упирается в треугольник, с треугольником, образующим «точку» фигуры.

Найти размеры подразделенных фигур

Вернитесь к формулам площади, чтобы узнать размеры, необходимые для расчета площади каждой подразделенной фигуры. В этом случае вам понадобится базовая и вертикальная высота треугольника, а также длина и ширина (или две соседние стороны) прямоугольника. Если вы работаете над математической задачей в школе, вы, вероятно, получите хотя бы некоторые из этих измерений и, возможно, потребуется использовать некоторую базовую алгебру или геометрию, чтобы найти пропущенные измерения. Если вы работаете в реальном мире, вы можете заполнить некоторые измерения физическими измерениями.

Рассчитать площадь каждой подразделенной формы

Заполните размеры в формуле площади для каждой подразделенной фигуры. Например, если треугольник имеет основание 6 дюймов и высоту по вертикали 3 дюйма, его формула площади:

1/2 ( b × h ) = 1/2 (6 дюймов × 3 дюйма) = 1/2 (18 дюймов 2 ) = 9 дюймов 2

Если прямоугольник имеет длину 6 дюймов (что также является стороной, составляющей основание треугольника) и высоту 4 дюйма, его формула площади:

l × w = 6 в × 4 в = 24 в 2

подсказки

Всего областей подразделяемых форм

9 в 2 + 24 в 2 = 33 в 2

подсказки

Вместо того, чтобы делить неправильную форму на что-то знакомое, можете ли вы добавить кусок, чтобы сделать его чем-то знакомым? Например, представьте, что ваша фигура выглядит как квадрат, но с одним углом, отрезанным под углом. Можете ли вы «добавить» треугольник в этот отрезанный угол, чтобы превратить его в аккуратный квадрат? Если да, вы можете рассчитать площадь всего квадрата, а затем вычесть площадь треугольника, который вы только что добавили. В результате вы получите площадь неправильной формы, с которой вы начали.

Как рассчитать площадь неправильной трапеции

Обычно легче измерить площадь правильных форм. Тем не менее, неправильные формы, такие как неправильная трапеция (или неправильная трапеция), являются общими и должны быть рассчитаны. Существуют нерегулярные калькуляторы трапециевидной площади и формула трапециевидной площади, которая делает процесс простым.

Как рассчитать длину овальной формы

Овальная форма всем знакома. Правильный овал, симметричный как по длине, так и по ширине, называется эллипсом. Эллипсы и овальные размеры важны в астрономии, потому что орбиты небесных тел, таких как планеты, являются эллиптическими.

Источник

Площадь фигур

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

S_EKFM = EK · EK

S_EKFM = 3 · 3 = 9 см 2

Формулу площади квадрата, зная определение степени, можно записать следующим образом:

Площадь прямоугольника

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

S_ABCD = AB · BC

S_ABCD = 3 · 7 = 21 см 2

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC
S_EFKL = 10 · 3 = 30 м 2
S_CDEF = FC · CD
S_CDEF = 7 · 5 = 35 м 2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м 2

Ответ: S = 65 м 2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC
S_ABCD = 5 · 4 = 20 см 2

S _ABC = S_ABCD : 2

S _ABC = 20 : 2 = 10 см 2

S _ABC = S _ACD = 10 см 2

Источник

Площади неправильных фигур.

Площади неправильных фигур.

Площади неправильных плоских фигур можно приблизительно определить, используя планиметр, формулу трапеций, правило средних ординат, формулу Симпсона.

Подобные методы могут быть использованы, например, инженерами для оценки площадей индикаторных диаграмм паровых двигателей, землемерами для оценки площадей земельных участков, кораблестроителями для оценки горизонтальных или поперечных сечений кораблей.

Планиметр.

Это инструмент для непосредственного измерения малых площадей, очерченных неправильной кривой.

Формула трапеций.

— Разделить PS на любое число равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).

— Аккуратно измерить ординаты у₁, у₂, у₃ и так далее.

В общем, согласно формуле трапеций: Площадь = (ширина интервала)[1/2(первая + последняя ордината)+(сумма остальных ординат)].

Правило средних ординат.

Чтобы определить площадь ABCD на рис. выше, необходимо:

— Разделить основание AD на любое количество равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).

— Восстановить перпендикуляр из середины каждого интервала (на рис. выше оказаны штриховыми линиями).

-Точно измерить ординаты у₁, у₂, у₃ и так далее.

В общем виде, правило средних ординат гласит: Площадь = (ширина интервала)*(сумма средних ординат).

Чтобы определить площадь PQRS на рис.выше, необходимо:

— Разделить основание PS на четное количество равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).

— Точно измерить ординаты у₁, у₂, у₃ и так далее.

В общем виде, формула Симпсона: Площадь = 1/3(ширина интервала)[(первая + последняя ордината)+4(сумма четных ординат)+2(сумма нечетных ординат)].

Пример. Определение площади под кривой с помощью формулы трапеций, правила средних ординат, формулы Симпсона.

Машина стартует из состояния покоя, и ее скорость измеряется каждую секунду в течение 6 секунд:

Хотя мы понимаем что увеличение числа разбиений увеличивает точность, но для простоты решения возьмем количество разбиений, равное 7.

Определить расстояние, пройденное за 6 секунд (т.е. площадь под графиком):

а) по формуле трапеций, б) по правилу средних ординат, в)по формуле Симпсона.

а) Формула трапеций.

Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с и измеряются ординаты. Итак, площадь S определяется формулой

S= 1[(0+25)/2 +3+6+ 9,15+13,5+18,5]=62,65 м

б) Правило средних ординат.

Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с. На рис. пунктирной линией показаны средние ординаты. Измерена каждая средняя ордината. Итак, площадь S определяется формулой

S= 1(1,5 +4,5+7,75+11,75+16+21,5)=63 м

Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с и измеряются ординаты. Итак, площадь S определяется формулой:

S= (1/3)*[(0+25) +4(3+9,15+ 18,5)+2(6+13,5)]= 61,2 м.

Источник