как записать отношение чисел

28.10.202309.11.2022 admin 0 Comments

Урок 21 Бесплатно Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Отношение

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.
Ответом будет 32.
Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1
В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.
Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:
Пример 2
Найдите отношение 15 к 12
По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.
Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.
Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.
Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.
Пример 3
Найдем отношение 16 к 24.
Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.
В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.
Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.
А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.
Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.
Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.
Пример 4
Есть два числа, 14 и 28
Посчитаем отношение 14 к 28
И посчитаем отношение 28 к 14
Как вы видите, получились разные значения.
Как можно заметить, это взаимно обратные числа.
Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.
Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.
Пример 5
Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a
Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)
Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.
Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.
Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.
Пример 6
Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношение и часть от числа
Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.
Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.
Так мы получим число, которое будет частью исходного.
Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)
Перемножив, мы получим:
А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.
Для этого разделите одно на другое:
То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.
Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.
Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.
Пример 1
Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
Найдем, какая именно это дробь.
Решение:
Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.
Теперь разделим одно на другое и получим ответ.
Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)
Пример 2
Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.
Найдем второе число.
Решение:
Мы знаем, что отношение обратно дроби.
Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)
Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:
Второе число равно 5
Проверка:
Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5
Получилось то же отношение, что и в условии.
Пример 3
Решим похожую задачу:
Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)
Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.
Решение:
Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:
Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.
В нашем случае на дробь надо делить число b :
Ответ: число a равняется 12
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношения в задачах
Теперь научимся находить отношения в задачах.
Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.
Задача 1
Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.
а) Найдите, какая часть улицы освещена.
б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?
Решение:
В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.
Именно это и спрашивается в первом вопросе.
Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:
Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.
Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:
Что отвечает на вопрос второго пункта.
Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.
То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.
Задача 2
Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.
Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.
Решение:
Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.
Теперь найдем искомое отношение:
Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Сегодня вы узнаете о математических фокусах!
Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.
Фокус 1
Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.
Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.
Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.
Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.
Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х
Фокус 2
В нем вы можете угадать День рождения человека.
Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Источник
Отношения
Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.
Частное двух чисел и , отличных от нуля, называют отношением чисел и , или отношением числа к числу .
Где и — члены отношения; число — предыдущий член отношения; — последующий член отношения.
— отношение числа к числу ;
Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число составляет от числа .
Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .
Основное свойство отношения:
Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:
То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.
Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.
Пример:
Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?
Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.
Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.
Например:
Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.
Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = .
Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .
Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.
На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана).
Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.
Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.
Для решения обозначим через длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:
5 : = 1 : 10 000;
Решаем данное уравнение:
= 510 000;
= 50 000;
50 000 см = 500 м = 0,5 км.
Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.
Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.
Для решения обозначим через длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:
: 9,5 = 1 : 10 000;
Решаем данное уравнение:
= 9,5 : 10 000;
= 0,00095;
0,00095 км = 0,95 м = 95 см.
Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Источник
Что такое отношение двух чисел: определение, запись, примеры
В данной публикации мы рассмотрим, что такое отношение двух чисел, как записывается, а также, какие действия с ним можно выполнять, чтобы оно осталось неизменным. Представленная информация сопровождается практическими примерами.
Определение отношения чисел
Отношением двух чисел называется их частное, т.е. деление одного на другое.
Например, отношение 24 к 6 можно записать как или представить в виде обыкновенной дроби. В этом случае в знаменателе пишется число, с которым выполняется сравнение, а в числителе – то, которое сравнивается:
Примечание: вместо предлога “к” иногда используется “по сравнению с”.
С помощью отношения чисел показывается:
1. Во сколько раз одно из них больше другого (когда делимое больше делителя).
То есть 14 в два раза больше 7.
2. Какую часть одно число занимает в другом (делитель больше делимого).
То есть 5 составляет одну четвертую часть от числа 20 (или 25%).
Умножение/деление отношения на число
Если умножить или разделить оба элемента отношения на одно и то же число, отличное от нуля, в результате получится новое отношение, которое равно исходному.
Примечание: Это есть не что иное как основное свойство дроби.
Источник
Соотношения
Соотношением называют некоторую взаимосвязь между сущностями нашего мира. Это могут быть числа, физические величины, предметы, продукты, явления, действия и даже люди.
В повседневной жизни, когда речь заходит о соотношениях, мы говорим «соотношения того-то и того-то». Например, если в вазе лежит 4 яблока и 2 груши, то мы говорим «соотношения яблок и груш» или если поменять местами яблоки и груши, то «соотношения груш и яблок».
В математике соотношение чаще употребляется как «отношение того-то к тому-то». Например, соотношение четырёх яблок и двух груш, которые мы рассматривали выше, в математике будет читаться как «отношение четырех яблок к двум грушам» или если поменять местами яблоки и груши, то «отношение двух груш к четырем яблокам».
Запишем соотношение четырех яблок и двух груш с помощью символа соотношения:
Это соотношение можно прочитать как «четыре к двум» либо «соотношение четырех яблок и двух груш» либо «четыре яблока относится к двум грушам»
В дальнейшем соотношение мы будем называть просто отношением.
Что такое отношение?
Отношением в математике называют частное двух чисел.
Данное отношение представляет собой деление числа 4 на число 2. Если выполнить это деление, мы получим ответ на вопрос сколько яблок приходится на единицу груши
Получили 2. Значит четыре яблока и две груши (4 : 2) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на одну грушу приходится два яблока
На рисунке показано, как четыре яблока и две груши соотносятся между собой. Видно, что на каждую грушу приходятся два яблока.
Чтобы найти значение дроби нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее
Получили 0,5. Переведём эту десятичную дробь в обыкновенную:
Сократим полученную обыкновенную дробь на 5
Получили ответ (половину груши). Значит две груши и четыре яблока (2 : 4) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на одно яблоко приходится половина груши
На рисунке показано, как две груши и четыре яблока соотносятся между собой. Видно, что на каждое яблоко приходится половинка груши.
Числа, из которых составлено отношение, называют членами отношения. Например, в отношении 4 : 2 членами являются числа 4 и 2.
Рассмотрим другие примеры соотношений. Для приготовления чего-либо составляется рецепт. Рецепт строят из соотношений между продуктами. Например, для приготовления овсяной каши обычно требуется стакан хлопьев на два стакана молока или воды. Получается соотношение 1 : 2 («один к двум» или «один стакан хлопьев на два стакана молока»).
Если перевернуть соотношение 1 : 2 то получится соотношение 2 : 1 («два к одному» или «два стакана молока на один стакан хлопьев»). Преобразуем соотношение 2 : 1 в дробь, получим . Вычислив эту дробь, получим 2. Значит два стакана молока и один стакан хлопьев соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на один стакан хлопьев приходятся два стакана молока.
Пример 2. В классе 15 школьников. Из них 5 – это мальчики, 10 – девочки. Можно записать соотношение девочек и мальчиков 10 : 5 и преобразовать это соотношение в дробь . Вычислив эту дробь получим 2. То есть девочки и мальчики соотносятся между собой так, что на каждого мальчика приходятся две девочки
На рисунке показано, как десять девочек и пять мальчиков соотносятся между собой. Видно, что на каждого мальчика приходятся две девочки.
Соотношение не всегда можно обращать в дробь и находить частное. В некоторых случаях это будет нелогично.
Так, если перевернуть отношение получится , а это уже отношение мальчиков к девочкам. Если вычислить эту дробь получается 0,5. Получается, что пять мальчиков относятся к десяти девочкам так, что на каждую девочку приходится половина мальчика. Математически это конечно верно, но с точки зрения реальности не совсем разумно, ибо мальчик это живой человек и его нельзя просто так взять и разделить, как грушу или яблоко.
Умение построить правильное отношение — важный навык при решении задач. Так в физике, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения.
Предположим, что автомобиль проехал 100 километров за 2 часа. Тогда отношение пройденных ста километров к двум часам будет скоростью движения автомобиля:
Скоростью принято называть расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. А отношение, как было сказано ранее, позволяет узнать сколько количества одной сущности приходится на единицу другой. В нашем примере отношение ста километров к двум часам показывает сколько километров приходится на один час движения. Видим, что на каждый час движения приходятся 50 километров
Пример 2. Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара
Если мы взяли в магазине 5 шоколадных батончиков и их общая стоимость составила 100 рублей, то мы можем определить цену одного батончика. Для этого нужно найти отношение ста рублей к количеству батончиков. Тогда получим, что на один батончик приходятся 20 рублей
Сравнение величин
Ранее мы узнали, что отношение между величинами разной природы образуют новую величину. Так, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения. Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара.
Но отношение можно использовать и для сравнения величин. Результат выполнения такого отношения есть число, показывающее во сколько раз первая величина больше второй или какую часть первая величина составляет от второй.
Чтобы узнать во сколько раз первая величина больше второй, в числитель отношения нужно записать большую величину, а в знаменатель меньшую величину.
Чтобы узнать какую часть первая величина составляет от второй, в числитель отношения нужно записать меньшую величину, а в знаменатель большую величину.
Рассмотрим числа 20 и 2. Давайте узнаем во сколько раз число 20 больше числа 2. Для этого находим отношение числа 20 к числу 2. В числителе отношения записываем число 20, а в знаменателе — число 2
Значение данного отношения равно десяти
Отношение числа 20 к числу 2 есть число 10. Это число показывает во сколько раз число 20 больше числа 2. Значит число 20 больше числа 2 в десять раз.
Пример 2. В классе 15 школьников. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить во сколько раз девочек больше мальчиков.
Записываем отношение девочек к мальчикам. В числителе отношения записываем количество девочек, в знаменатель отношения — количество мальчиков:
Значение данного отношения равно 2. Значит в классе из 15 человек девочек в два раза больше мальчиков.
Здесь уже не стоит вопрос о том, сколько девочек приходятся на одного мальчика. В данном случае отношение используется для сравнения количества девочек с количеством мальчиков.
Пример 3. Какую часть число 2 составляет от числа 20.
Находим отношение числа 2 к числу 20. В числителе отношения записываем число 2, а в знаменателе — число 20
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее
Значение отношения числа 2 к числу 20 есть число 0,1
В данном случае десятичную дробь 0,1 можно перевести в обыкновенную. Такой ответ будет проще для восприятия:
Значит число 2 от числа 20 составляет одну десятую часть.
Можно сделать проверку. Для этого найдём от числа 20. Если мы всё сделали правильно, то должны получить число 2
Получили число 2. Значит одна десятая часть от числа 20 есть число 2. Отсюда делаем вывод, что задача решена верно.
Пример 4. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества школьников составляют мальчики.
Записываем отношение мальчиков к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем пять мальчиков, в знаменателе — общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 5 нужно разделить на число 15
При делении 5 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 3
Получили окончательный ответ . Значит мальчики составляют одну треть от всего класса
На рисунке видно, что в классе из 15 школьников треть класса составляют 5 мальчиков.
Если для проверки найти от 15 школьников, то мы получим 5 мальчиков
Записываем отношение числа 35 к числу 5. В числитель отношения нужно записать число 35, в знаменатель — число 5, но не наоборот
Значение данного отношения равно 7. Значит число 35 в семь раз больше числа 5.
Пример 6. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества составляют девочки.
Записываем отношение девочек к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем десять девочек, в знаменателе — общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае, число 10 нужно разделить на число 15
При делении 10 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 3
На рисунке видно, что в классе из 15 школьников две трети класса составляют 10 девочек.
Если для проверки найти от 15 школьников, то получим 10 девочек
Пример 7. Какую часть 10 см составляют от 25 см
Записываем отношение десяти сантиметров к двадцати пяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 10 см, в знаменателе — 25 см
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 10 нужно разделить на число 25
Переведём полученную десятичную дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 2
Получили окончательный ответ . Значит 10 см составляют от 25 см.
Пример 8. Во сколько раз 25 см больше 10 см
Записываем отношение двадцати пяти сантиметров к десяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 25 см, в знаменателе — 10 см
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 2,5. Значит 25 см больше 10 см в 2,5 раза (в два с половиной раза)
Важное замечание. При нахождении отношения одноименных физических величин эти величины обязательно должны быть выражены в одной единице измерения, в противном случае ответ будет неверным.
Например, если мы имеем дело с двумя длинами и хотим узнать во сколько раз первая длина больше второй или какую часть первая длина составляет от второй, то обе длины сначала нужно выразить в одной единице измерения.
Пример 9. Во сколько раз 150 см больше 1 метра?
Сначала сделаем так, чтобы обе длины были выражены в одной единице измерения. Для этого переведем 1 метр в сантиметры. Один метр это сто сантиметров
1 м = 100 см
Теперь находим отношение ста пятидесяти сантиметров к ста сантиметрам. В числителе отношения записываем 150 сантиметров, в знаменателе — 100 сантиметров
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 1,5. Значит 150 см больше 100 см в 1,5 раза (в полтора раза).
А если бы не стали переводить метры в сантиметры и сразу попытались найти отношение 150 см к одному метру, то у нас получилось бы следующее:
Получилось бы, что 150 см больше одного метра в сто пятьдесят раз, а это неверно. Поэтому обязательно нужно обращать внимание на единицы измерения физических величин, которые участвуют в отношении. Если эти величины выражены в разных единицах измерения, то для нахождения отношения этих величин, нужно перейти к одной единице измерения.
Пример 10. В прошлом месяце зарплата человека составляла 25000 рублей, а в текущем месяце зарплата выросла до 27000 рублей. Определить во сколько раз выросла зарплата
Записываем отношение двадцати семи тысяч к двадцати пяти тысячам. В числителе отношения записываем 27000, в знаменателе — 25000
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 1,08. Значит зарплата выросла в 1,08 раза. В будущем, когда мы познакомимся с процентами, такие показатели как зарплата будем выражать в процентах.
Пример 11. Ширина многоквартирного дома 80 метров, а высота 16 метров. Во сколько раз ширина дома больше его высоты?
Записываем отношение ширины дома к его высоте:
Значение данного отношения равно 5. Значит ширина дома в пять раз больше его высоты.
Свойство отношения
Отношение не изменится если его члены умножить или разделить на одно и тоже число.
Это одно из важнейших свойств отношения следует из свойства частного. Мы знаем, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится. А поскольку отношение является ничем иным как делением, то свойство частного работает и для него.
В нашем примере удобнее разделить члены отношения на их наибольший общий делитель (НОД).
НОД членов 10 и 5 это число 5. Поэтому можно разделить члены отношения на число 5
Получили новое отношение . Это есть отношение два к одному (2:1). Данное отношение, как и прошлое отношение 10:5 показывает, что на одного мальчика приходятся две девочки.
На рисунке показано отношение 2 : 1 (два к одному). Как и в прошлом отношении 10 : 5 на одного мальчика приходятся две девочки. Другими словами, отношение не изменилось.
Пример 2. В одном классе 10 девочек и 5 мальчиков. В другом классе 20 девочек и 10 мальчиков. Во сколько раз в первом классе девочек больше мальчиков? Во сколько раз во втором классе девочек больше мальчиков?
В обоих классах девочек в два раза больше мальчиков, поскольку отношения и равны одному и тому же числу.
Свойство отношения позволяет строить различные модели, которые имеют схожие параметры с реальным объектом. Предположим, что многоквартирный дом имеет ширину 30 метров и высоту 10 метров.
Переведем метры в сантиметры. 3 метра это 300 сантиметров, а 1 метр это 100 сантиметров
3 м = 300 см
1 м = 100 см
Имеем отношение 300 см : 100 см. Разделим члены этого отношения на 100. Получим отношение 3 см : 1 см. Теперь можно нарисовать дом с шириной 3 см и высотой 1 см
Конечно нарисованный дом намного меньше реального дома, но неизменным осталось отношение ширины и высоты. Это позволило нам нарисовать дом, максимально похожий на реальный
Отношение можно понимать и другим образом. Изначально было сказано, что у реального дома ширина составляет 30 метров, а высота 10 метров. Итого получается 30+10, то есть 40 метров.
Эти 40 метров можно понимать, как 40 частей. Отношение 30 : 10 говорит о том, что 30 частей приходится на ширину, а 10 частей на высоту.
Далее члены отношения 30 : 10 были разделены на 10. В результате получилось отношение 3 : 1. Это отношение можно понимать, как 4 части, три из которых приходится на ширину, одна — на высоту. В этом случае обычно требуется узнать сколько конкретно метров приходится на ширину и высоту.
Другими словами, нужно узнать сколько метров приходится на 3 части и сколько метров приходится на 1 часть. Сначала надо узнать сколько метров приходится на одну часть. Для этого общие 40 метров нужно разделить на 4, поскольку в отношении 3 : 1 всего четыре части
Далее с помощью умножения определяют сколько метров приходятся на ширину и высоту. Члены, которые даны в отношении используют в качестве сомножителя.
Определим сколько метров приходится на ширину:
Определим сколько метров приходится на высоту:
Несколько членов отношения
Если в отношении дано несколько членов, то их можно понимать как части от чего-либо.
Отношение 2 : 1 : 3 говорит о том, что мама получила 2 части, папа — 1 часть, дочка — 3 части. Другими словами, каждый член отношения 2 : 1 : 3 это определенная часть от 18 яблок:
Узнаем сколько яблок приходится на одну часть. Для этого 18 яблок разделим на 6
18 : 6 = 3 (яблока на одну часть)
Узнаем сколько яблок получила мама:
Узнаем сколько яблок получил папа:
Узнаем сколько яблок получила дочка:
4 килограмма нового серебра будет содержать 3 части никеля, 4 части цинка и 13 частей меди. Сначала узнаем сколько всего частей будет в четырех килограммах серебра:
3 + 4 + 13 = 20 (частей)
Определим сколько килограммов будет приходиться на одну часть:
Определим сколько килограммов никеля будет содержáться в 4 кг нового серебра. В отношении 3 : 4 : 13 указано, что три части сплава содержат никель. Поэтому умножаем 0,2 на 3:
0,2 кг × 3 = 0,6 кг никеля
Теперь определим сколько килограммов цинка будет содержáться в 4 кг нового серебра. В отношении 3 : 4 : 13 указано, что четыре части сплава содержат цинк. Поэтому умножаем 0,2 на 4:
0,2 кг × 4 = 0,8 кг цинка
Теперь определим сколько килограммов меди будет содержáться в 4 кг нового серебра. В отношении 3 : 4 : 13 указано, что тринадцать частей сплава содержат медь. Поэтому умножаем 0,2 на 13:
0,2 кг × 13 = 2,6 кг меди
Значит, чтобы получить 4 кг нового серебра, нужно взять 0,6 кг никеля, 0,8 кг цинка и 2,6 кг меди.
Определим сколько граммов сплава приходится на одну часть. В условии сказано, что для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Также сказано, что три части сплава содержат медь. Если разделить 120 на 3, мы узнаем сколько граммов сплава приходится на одну часть:
120 : 3 = 40 граммов на одну часть
Теперь определим сколько требуется цинка для изготовления куска латуни. Для этого 40 граммов умножим на 2, поскольку в отношении 3 : 2 указано, что две части содержат цинк:
40 г × 2 = 80 граммов цинка
Пример 4. Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1 : 9, а в другом 2 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1 : 4?
Решение
15 кг нового сплава должны состоять в отношении 1 : 4. Это отношение говорит о том, что на одну часть сплава будет приходиться золото, а на четыре части будет приходиться серебро. Всего же частей пять. Схематически это можно представить следующим образом
Определим массу одной части. Для этого сначала сложим все части (1 и 4), затем массу сплава разделим на количество этих частей
1 + 4 = 5
15 кг : 5 = 3 кг
Одна часть сплава будет иметь массу 3 кг. Тогда в 15 кг нового сплава будет содержáться 3 × 1 = 3 кг золота и серебра 3 × 4 = 12 кг серебра.
Поэтому для получения сплава массой 15 кг нам нужно 3 кг золота и 12 кг серебра.
Теперь ответим на вопрос задачи — « Сколько нужно взять каждого сплава? »
Первого сплава мы возьмем 10 кг, поскольку золото и серебро в нём находятся в отношении 1 : 9. То есть этот первый сплав даст нам 1 кг золота и 9 кг серебра.
Второго сплава мы возьмем 5 кг, поскольку золото и серебро находятся в нём в отношении 2 : 3. То есть этот второй сплав даст нам 2 кг золота и 3 кг серебра.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Источник