Фрактальность вселенной что это

Фрактальная вселенная

Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) — в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой бесконечной Вселенной. Метафизическая школа, изучающая данную теорию сосредотачивается на фундаментальных организационных принципах природы и называет данную концепцию дискретная фрактальная парадигма. Она подчеркивает иерархическую организацию систем природы от наименьших наблюдаемых элементарных частиц до наибольших видимых кластеров галактик. Новая фрактальная парадигма также выдвигает на первый план тот факт, что глобальная иерархия природы является весьма стратифицированной в дискретные уровни материи, из которых наиболее выделяющимися являются Атомные, Звездные и Галактические уровни. Третий важный принцип фрактальной парадигмы − это то, что космологические уровни являются строго самоподобными, так что для каждого класса объектов или явлений в данном масштабном уровне есть аналогичный класс объектов или явления в каждом другом космологическим уровне. Самоподобные аналоги объектов и явлений из различных уровней имеют совпадающую морфологию, кинематику и динамику.

Содержание

Основные элементы теории

Историческая справка

Quod est inferius est sicut quod est superius

(То, что находится наверху, подобно тому, что находится внизу)

Этот принцип, изречённый более двух тысяч лет назад, был принят за аксиому последователями герметической религиозной философии. Это течение времён поздней античности, из которого в Средние века родилась алхимическая наука, и которое явилось предтечей трёх движений, частично доживших до наших дней: движения иллюминатов, франкмасонства, и движения розенкрейцеров. Многие виднейшие учёные Средневековья и Нового времени были связаны с какими-либо из этих движений, главным образом потому, что эти организации хранили у себя недоступную простым смертным информацию. Герметисты утверждали аналогию между микрокосмом и макрокосмом: в религиозном смысле, эта аналогия понималась как соответствие бога и человека, созданного по образу и подобию божьему. Однако в науке утверждение о всеобщей аналогии может пониматься гораздо шире.

Теория о подобии процессов, происходящих на макро- и микроуровнях, согласовывается с утверждением Гермеса. Изучение мышления незаурядных людей приводит к тем же выводам. Такие великие исследователи, как Леонардо да Винчи, обладали способностью одновременно воспринимать целое и его части; принцип его исследований заключался в анализе — разделении явлений на возможно малые составные части — и синтезе их в новых конфигурациях. Да Винчи разработал пирамидальную схему механики, согласно которой, все природные силы — которые он назвал «четырьмя силами» — движением, массой, силой и столкновением — расположены по системе пирамиды и происходят один из другого. Этот принцип пирамиды, в котором энергия собирается и теряется в геометрической пропорции, составил основу механики.

Кант и Ламберт

В основе космологических представлений Канта было признание существования бесчисленного множества звездных систем, которые могут объединяться в системы более высокого порядка. В то же время каждая звезда со своими планетами и их спутниками образует систему подчиненного порядка. Вселенная, следовательно, не только пространственно бесконечна, но и структурно многообразна, поскольку в состав ее входят космические системы разных порядков и размеров. Выдвигая это положение, Кант приближался к идее о структурной бесконечности вселенной, которая получила более полное развитие в космологическом учении современника Канта, немецкого ученого И. Г. Ламберта (1728—1777).

Бесконечная Вселенная и фотометрический парадокс Ольберса

В рамках классической космологии этот парадокс пытались разрешить в модели иерархического строения Вселенной, разработанной Карлом Шарлье на основе идеи Ламберта. [3] В 1908 году он опубликовал теорию строения Вселенной, согласно которой Вселенная представляет собой бесконечную совокупность входящих друг в друга систем все возрастающего порядка сложности. В этой теории отдельные звезды образуют галактику первого порядка, совокупность галактик первого порядка образует галактику второго порядка и т. д. до бесконечности. На основании такого представления о строении Вселенной Шарлье пришел к выводу, что в бесконечной Вселенной фотометрический парадокс устраняется, если расстояния между равноправными системами достаточно велики по сравнению с их размерами. Это приводит к непрерывному уменьшению средней плотности космического вещества по мере перехода к системам более высокого порядка. Для устранения парадокса требуется, чтобы плотность вещества падала быстрее, чем обратно пропорционально квадрату расстояния от наблюдателя. Такая зависимость плотности вещества в Метагалактике не наблюдается, поэтому современное объяснение парадокса Ольберса основано на других принципах (например, учитывается красное смещение, используется общая теория относительности). Однако сама идея о сложном строении Вселенной и вложенности систем разного уровня остаётся и развивается.

Фурнье Д’Альба

Полученные результаты

Основные результаты в теории Бесконечной Вложенности Материи были получены в первой пятилетке ХХI века. Этому способствовал прорыв в исследовании Вселенной благодаря искусственным спутникам, современным средствам наблюдения — инфракрасным телескопам и компьютерный анализ накопленного материала, а также систематизация знаний в области элементарных частиц. Указанные далее исследователи работали в разных странах практически независимо друг от друга.

Олдершоу, Р. Л.

Роберт Олдершоу (Robert L. Oldershaw) [6], независимый исследователь колледжа Амхерста (Массачусетс, США) в ряде работ с 1978 года развивал модель космологического самоподобия (The Self-Similar Cosmological Model). Он выделил три основных уровня материи — атомный, звёздный и галактический уровни, причём два последних уровня ближе друг к другу, чем к атомному уровню. На данных уровнях материя сосредоточена в основном в виде нуклонов и звёзд, а звёзды также в своём большинстве входят в состав галактик. [4] [5] Олдершоу отмечает, что подавляющее количество вещества в космосе содержится в самых лёгких элементах — в водороде и в гелии, а на уровне звёзд в — в звёздах-карликах с массами 0,1 — 0,8 солнечных масс. Кроме этого, имеется много и других примеров подобия:

Определение коэффициентов подобия по массе, размерам и времени протекания процессов между атомными и звёздными системами Олдершоу осуществляет через сопоставление Солнечной системы и ридберговского атома с номером орбиты n = 168. При этом водороду соответствуют звёзды с массами порядка 0,15 солнечных масс. В результате такого сопоставления становится возможным делать достаточно точные предсказания масс и размеров звёзд, галактик, размера протона, периодов вращения галактик и т. д.

Сухонос С. И.

Пляшкевич Л. Н., Пляшкевич М. Л.

Леонард Пляшкевич и Мира Пляшкевич в своей работе рассматривали основные постулаты варианта космологии, альтернативной гипотезе Большого взрыва. [7] Авторами была сделана попытка выявить единый принцип устройства микро и макрокосмоса. Для достижения этой цели используются методы преобразования подобия и размерностей физических величин. Гравитационное поле рассматривается в плане поля Фарадея-Максвелла. Отказ от гипотезы Большого взрыва и интерпретации красного смещения в спектрах далеких галактик, как доплеровского эффекта, позволяет развивать иерархическую модель Вселенной. Затронута проблема сосуществования обычной материи и антиматерии. Цель работы — продемонстрировать, не погружаясь в бездны метрических теорий, право на существование и развитие иерархической модели.

Сиротенко, Борис Михайлович (Boris Antsis)

Unified structure of Universe. [8] О подобии микро- и макромира. [9]

Источник

Живая Вселенная. 3.Фрактальный подход к пониманию Высшего Разума, Бога (детальный анализ) (+2 видео)

(Ваши уточнения и дополнения к тексту, а также ссылки на книги, статьи, фото и видео по теме приветствуются )

«27. И сотворил Бог человека по образу Своему,
по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их.»
(Бытие. Глава 1)

Приведенной в двух предыдущих текстах информации недостаточно для убедительно утвердительного обоснования идеи Живой Вселенной. Поэтому я и написал там, что это была всего лишь фантазия-размышление-путешествие в мир неизвестного, которая не претендует на строгую научность. Ее можно рассматривать как гипотезу. Идея в том виде выходит за рамки нынешних достоверных научно-эмпирических методов как доказательства, так и опровержения. Однако, это было лишь начало. То была «затравка» темы.

В этом тексте уже по-другому. Здесь нечто большее, чем просто общие рассуждения. Здесь «развертка» темы, с серьезным научным фундаментом и достаточно подробным факто-логическим анализом и доказательством того, что идея Живой Вселенной больше, чем просто красивая идея. Что в ней действительно сокрыт глубокий сакральный смысл. Более того, что этот глубинный смысл является ключом к визуализации и пониманию того грандиозного явления, которые называют коротким и емким словом Бог, или Высший Разум. При углубленном, всестороннем рассмотрении и изучении какого-либо объекта или явления может оказаться, что их сущность и природа совершенно не такие, как это представляется подавляющему большинству людей, слабо или неполно знакомых с предметом обсуждения. Такое нередко случается. Мне видится в моем нынешнем знании и понимании Бога, что это как раз та тема и тот случай…

В природе мы находим большое количество примеров проявления фрактальной структуры и подобия в устройстве живых организмов. Можно сказать, что в самой основе жизни заложен принцип фрактальности. Функциональная схожесть просматривается также при переходе от одного уровня биологической иерархичности к другому. Например, органеллы (или органоиды) входят в состав клетки, являются своего рода ее внутренними органами. Из клеток состоит орган, их тип определяет его специализацию. Органы и ткани в совокупности образуют организм. Организмы формируют сообщество (живую часть экосистемы). Из сообществ состоит живая часть биосферы. Фрактальность можно обнаружить и в поведении. Например, хлоропласты клетки растения (в них идет фотосинтез) организованно реагируют на источник света. Клетки организма согласованно реагируют на холод и другие факторы окружающей среды. Отдельные организмы в стаде животных, стае птиц, косяке рыб организованно и согласовано меняют направление движения и действия при появлении хищника. Примеры можно продолжать.

А сейчас вопрос. А кто сказал, что фрактальность жизни ограничивается лишь этими, экспериментально проверенными нынешней наукой иерархиями и формами на нашем [среднем] мезо-уровне? Нет никаких оснований утверждать, что данная фрактальная закономерность не идет далее «вниз» и «вверх».

Тем более, что подобная фрактальность встречается не только в живом мире, но и в «неживой» природе. Например, атом, звездная система и галактика, составляющие разные уровни иерархичности мироздания, демонстрируют фрактальный принцип устройства (по типу «планетарно-подобного»). Объекты, компонентами которых они являются, занимают промежуточное положение.

Таким образом, как в биологии, так и в физике можно проследить ряды аналогий, который наводят на мысль о единстве основного закона организации всего сущего в Мироздании. В итоге получается некий «матрешечный» принцип устройства мира, когда малое находится в большем, то в свою очередь еще в большем, и так далее (по типу русской матрешки).

В то время мои познания ограничивались лишь материальным миром. Сейчас вышли за его пределы, в мир нематериальный. Должен сказать, что здесь также просматривается принцип фрактальности («матрешечности»). Но только в этом случае общее устройство получается намного сложнее. Ведь здесь мы имеем дело с многомерностью, межпространственностью и тонко-волновыми частотами, далеко выходящими за возможности обычного восприятия не только нашими биологическими органами чувств, но и современными физическими приборами. Речь идет о том спектре колебаний и о той части реальности, в котором «обитает» сознание. (Об этом всём подробнее будет позже). В итоге получается, что наш материальный мир (астрономическая Вселенная) – лишь маленькая, «энергетически-замороженная» часть огромного Мироздания, часть части фрактала, одна из «матрешек» в другой, большей по объему «матрешке».

Конечно, нельзя воспринимать написанное в книге как истину в последней инстанции. В ней возможны ошибки или иные версии толкований, иные выводы. Важно другое: данный труд – это приглашение к размышлению, к поиску ответов на вечные вопросы, к нахождению себя Истинного на бесконечном Пути Жизни. Вот как об этом пишет сам автор:

» Все началось с озарения. В одно мгновение стало понятно то, что не давало покоя всю сознательную жизнь: Как устроен мир? Кто его Автор? Зачем мы здесь?

У меня не было видений, я не слышал голосов. Было понимание ВСЕГО и сразу.

Понять самому и объяснить другим – разные вещи. За первые три месяца был собран «СКЕЛЕТ» Мироздания. Понадобилось более 10 лет, чтобы «СКЕЛЕТ» начал обрастать «ПЛОТЬЮ».

Возможно, в деталях я где-то и ошибся. Но, в главном, абсолютно уверен: мы живем внутри огромного живого ЧЕЛОВЕКА!

Бог, создавая Вселенную, пользовался не формулами, а образами. В этой книге нет формул, но очень много образов. Включайте воображение, дамы и господа! Посмотрим на себя глазами Вселенной!»

Итак, приглашаю в интересный мир фактов и доказательств от Николая Сорокина – «Матрешка Мироздания по образу и подобию».

(Под текстами имеется также не менее интересный форум читателей.)

В связи с тем, что тема «Живая Вселенная» интересная сама по себе, но редкая в таком виде анализа и изложения, буду признателен за ваши мысли и конструктивные идеи в ее развитие! Заранее благодарю.

Источник

Фрактальная Вселенная — преграда космической экспансии

Сергей Хайтун предлагает задуматься о том, что структура мира, в котором мы живем, может заключать в себе принципиальную невозможность вечного развития цивилизации. Предлагаем сокращенный перевод его статьи, опубликованной на портале ROOM

Поделиться:

В 1975 году Бенуа Мандельброт опубликовал книгу Les Objects Fractals, открывшую нам глаза на фрактальное устройство мира. На протяжении веков наука воспринимала материальные тела как более или менее непрерывные объекты, ограниченные более или менее гладкими поверхностями. Мандельброт же показал, что в наблюдаемом мире преобладают фрактальные структуры, характеризуемые чрезвычайной изрезанностью.

Фракталы обладают одним странным свойством, на которое я обратил внимание в книге «Механика и необратимость» (1996) и которое подробно обсудил в книге «Феномен человека на фоне универсальной эволюции» (2005). Это свойство характеризует только «настоящие» фракталы, т. е. фракталы в строгом математическом смысле слова, возникающие в вычислительных экспериментах («на бумаге»), и не относится к материальным фракталам, существующим в нашем трехмерном пространстве: угольной саже, деревьям, бронхам, галактикам и пр.

А именно: мера (суммарный «объем», занимаемый точками множества после «выпаривания» пустого пространства между ними) «настоящего» фрактала, если ее определять посредством измерительных «кубиков» топологической размерности, т. е. размерности пространства, в котором расположен фрактал, тождественно равна нулю.

Поясню сказанное на простом примере. Представим себе бесконечно тонкий лист бумаги, которым мы пытаемся заполнить комнату, вырезая из него бесконечно узкую полоску и разрывая ее на «точки». Такой лист бумаги – двухмерный, его масса равна нулю. Понятно, что заполнить им трехмерный объем толком не удастся, бумага образует «всюду пустую» структуру нулевой плотности. Вот эта «бумажная» структура и может служить образом «настоящего» фрактала.

Обсуждаемое свойство является «фракталообразующим»: расположенные в нашем трехмерном пространстве материальные структуры, которые сегодня принято называть фракталами, но которые обладают ненулевой плотностью — те же угольная сажа, деревья и т. д., — только фракталоподобны, имея фрактальную структуру лишь в конечном диапазоне размеров измерительных «кубиков».

«Настоящие» фракталы должны сохранять свои свойства при использовании сколь угодно малых измерительных «кубиков». Это требование не является препятствием в случае бесконечной Вселенной: с точки зрения воображаемого наблюдателя и наблюдаемого им мира, размеры которых устремлены к бесконечности, размеры используемых нами конечных измерительных «кубиков» стремятся к нулю.

Вопрос в другом: фрактальна ли Вселенная «на самом деле», будучи в этом случае единственным «настоящим» материальным фракталом? Судя по всему, да, гипотеза о фрактальности Вселенной согласуется с результатами наблюдений. Средняя плотность космического вещества быстро падает до умопомрачительно малых величин при переходе от Солнца (плотность 1,4 г/см3) к Солнечной системе (10–12 г/см3), нашей Галактике (10–24 г/см3) и нашей Метагалактике (2·10–31 г/см3). Ничто не мешает нам предположить, что с неограниченным ростом объема фрагментов Вселенной их плотность стремится к нулю.

Из гипотезы о фрактальности Вселенной следует ряд следствий.

Фрактальная Вселенная бесконечна (потому что только бесконечная Вселенная может быть «настоящим» фракталом).

Фрактальная Вселенная имеет нулевую плотность.

Фрактальная Вселенная не может эволюционировать.

Последнее нуждается в объяснении. Посмотрим, опираясь на теорию Большого взрыва, что будет, если и когда наша Метагалактика начнет сжиматься под действием гравитации. Рано или поздно внутри нее исчезнут все возникшие в ней ранее в процессе расширения сколько-нибудь сложные формы материи, включая органические и социальные формы жизни (на Земле и, возможно, в других местах), останется только высокотемпературная плазма, с которой начиналось расширение нашей Метагалактики после Большого взрыва. Это же верно и в отношении других сжимающихся метагалактик.

Примем теперь во внимание, что из-за равенства плотности фрактальной Вселенной нулю процессы сжатия и расширения метагалактик и других космических макросистем не могут возобладать друг над другом. Отсюда и следует, что эволюция фрактальной Вселенной как целого невозможна: результаты локальных эволюций в космических макросистемах (метагалактиках и др.), достигнутые во время их расширения, уничтожаются локальными процессами сжатия.

Расширяющиеся и сжимающиеся метагалактики (и иные космические макросистемы) во фрактальной Вселенной — это не маловероятные флуктуации в равновесной Вселенной, как это изображает флуктуационная модель Больцмана: именно из них и состоит практически вся Вселенная. Развитая жизнь, надо полагать, закономерное порождение эволюции, протекающей в расширяющихся метагалактиках. Во фрактальной Вселенной жизнь буквально бурлит. Другое дело, что феномен жизни в такой Вселенной носит фатально локальный — в пространстве и во времени — характер: всюду, где возникает жизнь, она обречена на гибель. Это, увы, относится и к человеческой цивилизации со всей нашей космической экспансией.

Не исключено, однако, возразит читатель, что расширение какой-то метагалактики не сопровождается ее последующим сжатием, а ее содержимое, продолжая расширение, рассеивается в космическом пространстве между метагалактиками. Если даже доля метагалактик с такой судьбой невелика, не может ли это привести к выживанию и дальнейшей эволюции все более развитых органических и социальных форм жизни? Полагаю, что такое невозможно, так как в противном случае процессы расширения метагалактик возымели бы перевес над процессами их сжатия, что для фрактальной Вселенной, как говорилось, невозможно. Вещество, рассеиваемое во Вселенной «отказавшимися» сжиматься метагалактиками, подбирается со временем другими метагалактиками, где и попадает вновь в «мясорубку» локальных сжатий и расширений.

И последнее. Так все выглядит, если считать справедливой гипотезу о фрактальности Вселенной. Справедлива ли она, вот в чем вопрос…

Статья публикуется в рамках совместного проекта «Сноба» и ROOM.

Источник

Дельфис

Последнее обновление

Статьи по теме

Рекомендуемые книги

Подписка на рассылки

Оставайтесь с нами

Отзывы наших читателей

Древо — суть и символ глубинных связей между причинами и следствиями, корнями и кроной, тем, что возникает из небытия, и тем, к чему устремлено развитие. Ветвление — частный, но чрезвычайно типичный случай отсутствия непрерывности и целочисленности, присутствия дискретности, квантованности при сохранении подобия на всех масштабах — в пространстве и во времени. Древо — универсальный образ для самых разнообразных процессов, способ, коим ткется пространственное лоно Вселенной, выражение Единства и целесообразности всего сотворенного в мире. Такие дробные свойства Вселенной, именуемые фрактальными, стали серьезно обсуждаться в науке лишь последние пятнадцать лет, поколебав тем самым пятидесятилетнее господство классической релятивистской космологии и подтверждая, кстати, необычайную ценность и прозорливость теоретических работ А.Л.Зельманова (см. предыдущую статью этого номера журнала), осознавшего ограниченность и неполноту современной космологической модели нашего мира.

«Фрактальная Вселенная» — так называется статья старшего научного сотрудника Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга МГУ, кандидата физико-математических наук Феликса Александровича Цицина, вся творческая жизнь которого неразрывна с астрономией, вызвавшей интерес еще в школьные годы, когда сам Отто Юльевич Шмидт дал ему доброе напутствие. Автором в разное время рассматривались многие проблемы: динамика звездных систем, происхождение комет, жизни и разума, термодинамика Вселенной, «черные дыры», история астрономии, наконец, — фрактальная геометрия и алгебра.

Фрактальная вселенная

(Субъективный взгляд со стороны)

По дороге к фракталам

С появлением в начале 80-х гг. и быстрым последующим развитием концепции «раздувающейся Вселенной» (Гута—Линде [1]) господствовавшее в канонической релятивистской модели представление о конечности и однородности Вселенной вновь, уже не в первый раз, уходит в прошлое. Вселенная в наших представлениях с невообразимой скоростью «увеличивается», становится предельно неоднородной, бесконечно разнообразной и весьма нетривиально фрактально-структурной. Наша привычная, «слишком простая» и даже несколько скучноватая фридмановско-хаббловская релятивистская расширяющаяся обитель, поперечником какие-то (!) 10 — 20 млрд. световых лет, оказывается ничтожно малым уголком Большой Вселенной, где таких, как наша (и других!) вселенных — бесчисленное множество; границы ее откатываются настолько далеко, что единственной подходящей характеристикой их положения оказывается, как у Демокрита или у Бруно, слово «бесконечность».

Эта революция в наших представлениях о Вселенной по масштабам никак не меньше, чем изменение модели аристотелевой конечной Вселенной на бесконечную Вселенную Бруно-Ньютона. Эта новейшая революция в космологии еще не завершена, а горизонты Новой Бесконечной Вселенной теряются в загадочной дымке.

За всеми прошлыми и настоящими революционными переворотами в научной картине мира, за подчас вековыми мучительными и туманными проблемами, а отчасти — и сияющими перспективами, остается недооцененным еще одно весьма достойное внимания кардинальное преобразование в астрономической картине мира. Речь идет о развертывающемся в последние пару десятков лет совершенно новом и весьма неожиданном аспекте Мира. Вселенная оказалась насквозь «нецеломерной», фрактальной, она повсюду состоит из фрактальных систем, в ней протекают процессы иерархически структурированные, с «самоподобием» на всех этажах своего устройства. Для нас — это откровение не меньшего масштаба, чем открытие чрезвычайной нестационарности Вселенной на самых различных ее уровнях 2 — от мира планеты Земля до комет и астероидов, от рождающихся и взрывающихся звезд и бурно эволюционирующих звездных комплексов (объединений молодых звезд) — до квазаров, сияющих подобно сотне галактик, и до всей нашей Вселенной, в немыслимом темпе раздувающейся до «почти бесконечных» размеров.

Рис. 1. Фрактальный рост. Отложение цинка при электролизе

Рис. 2. Фрактальная структура (Фигура Лихтенберга при электрическом разряде)

Уточним, что дробная размерность (у линии, например) возникает в тех случаях, когда эта линия в пределе «почти сплошь», но все же «не совсем», заполняет какую-то поверхность. На математическом языке ее так называемая размерность Хаусдорфа—Безиковича тогда больше привычной топологической. Заметим, кстати, что размерность линии, превосходящая 1, при этом не обязательно будет дробной (размерность плоской броуновской траектории равна 2). Видимо, мыслима и размерность линии в трехмерном объеме, превосходящая двойку. Вообще же разнообразие здесь велико, и в ряде случаев размерность «предельного объекта» может быть оценена лишь приближенно (численно как итог компьютерного моделирования предельного процесса). В некоторых же объектах она элегантно выражается аналитически. Так, размерность Хаусдорфа—Безиковича знаменитого канторова множества («остаток» от процедуры: из отрезка вырезаем среднюю треть, из оставшихся двух отрезков — тоже, и т.д. до бесконечности) выражается в конечном виде числом ln2/ln3

Математический смысл фрактальности довольно абстрактен, и здесь, пожалуй, не стоит пытаться определить фрактал во всей его математической строгости и сложности. Однако геометрический смысл фрактальности весьма нагляден и прост. Это, схематизируя, бесконечная — вверх и вниз — пирамида единообразно (на один и тот же множитель) изменяющихся ступеней. Такая лестница масштабов может быть и не откровенно иерархическо-геометрической, а скрытой во временном поведении системы.

Например, совокупность броуновских частиц в каждый момент представляется предельно хаотичной. Но траектория броуновского движения (каждой частицы) в идеале (если не подойти слишком близко к характерной величине размера атомов и расстояний между ними) выглядит совершенно одинаково при любом масштабе («увеличении микроскопа»).

Масштабная инвариантность, или самоподобие, фрактальной структуры является ее характернейшим свойством. Она может проявляться бесконечно разнообразно. Любопытно, что именно через это свойство фракталы (не называя их так, естественно), значительно раньше их первооткрывателя Мандельброта увидел талантливый голландский художник с острым взглядом — М.К.Эсхер (1902—1972) (иногда, в более ранней и менее точной транскрипции — Эшер).

Открытие фракталов

Смотрите, как повсюду окружают нас непонятные факты, как лезут в глаза, кричат в уши, но мы не видим и не слышим, какие большие открытия таятся в их смутных очертаниях.

Осознание фрактальности мира, как почти все крупнейшие обобщения в науке, началось с весьма частного вопроса — с мысленного опыта американского математика Бенуа Мандельброта: длина участка береговой линии между двумя городами оказалась зависящей от того, как ее измерять, то есть от «длины линейки». Можно сказать, что это заранее очевидно и тривиально. Но те, кто так рассуждали и на этом останавливались в бесконечном множестве «аналогичных случаев» до Мандельброта, и не заметили, не открыли фрактальность Вселенной! «Истина бывает часто настолько проста, что в нее не верят» (Ф.Левольд). Мандельброт, между тем, вышел за рамки старой научной картины мира, в которой не было места для фракталов. Впрочем, у математиков, знакомых с хаусдорфовской размерностью еще с 1919 г., какие-то подозрения дробные размерности вызывали, хотя бы для исключительно экзотических математических объектов [5]. Но к этим разговорам долго не прислушивались, даже некоторое время и после провозглашения Мандельбротом его открытия. Нобелевская премия по физике Кеннету Вилсону за работу, в которой прямо использовались представления о модели физической системы с дробной размерностью, не особенно изменила положение.

Концепция «раздувания» в космологии и фрактальность пространства Вселенной?

В отличие от устойчивости, неустойчивость устойчива.

Все упоминавшиеся системы, сколь ни много их вокруг нас, от микромира до Метагалактики, — все эти материальные объекты, — находящиеся в трехмерном (пусть искривленном) пространстве, имеют фрактальную структуру, или же дробную размерность. А мыслимо ли, и какой смысл могло бы иметь само пространство такой дробной размерности? Или, в еще более общем случае, — комплексной дробной размерности? Лично меня этот вопрос интересует где-то с начала 50-х гг. Очень многозначительным представляется то, что буквально в последние годы появился (в теории) первый объект, в отношении которого можно думать, что он обладает именно пространством фрактальной структуры и, возможно, дробной размерности. История науки показывает, насколько принципиальным оказывается почти всегда такой первый шаг, открывая новую область явлений, хотя по единственному, уникальному объекту не удавалось, естественно, установить ни меру типичности, ни степень нетривиальности нового объекта. Вспомним из истории астрономии открытие первого кольца у планеты, первой периодической кометы, первого астероида, первого квазара и т.д.

Композиция из фрактальных множеств Мандельброта

Первые попытки численного моделирования подобного явления были проведены самим А.Д.Линде, и его приоритетные результаты сообщены в докладе «Фрактальная Вселенная» в ГАИШ еще 19 июня 1991 г. Имеющиеся последующие оценки пока не позволяют количественно указать размерность пространства стохастически раздувающейся Вселенной. Процесс этот «стабильно неустойчив». Размерность такой модели Вселенной может оказаться и не обязательно дробной (подобно тому, как целочисленной, но более высокой, чем у обычной линии, оказывается размерность броуновской траектории — см. выше). Через несколько лет после пионерской работы Линде фрактальность в космологии — нецелочисленность (с изменением — от нормальной тройки в лаборатории до двойки на космологическом горизонте) заподозрила А.Д.Попова (ГАИШ) в цикле работ 90-х гг. Собственный оригинальный подход к этой проблеме развивает известный специалист по общей теории относительности (ОТО) и релятивистской космологии Р.Ф.Полищук. Правда, еще несколькими годами ранее группа итальянских астрофизиков (А.Грасси и др.) на основе отклонений спектра реликтового излучения от закона Планка сделала предварительный вывод, что возможное значение фрактальной размерности (D) пространства Метагалактики ограничивается соотношением:

Фрактальная математика для фрактальной Вселенной

Нельзя избавиться от ощущения, что математические формулы живут независимой жизнью, что они умнее своих изобретателей, что мы получаем из них больше, чем в них было в свое время вложено.

Однако, сколь ни впечатляющи успехи компьютерной математики, обобщающая мощь аналитического подхода в самой математике, в физике, астрономии и в других науках не должна недооцениваться. Бесконечный спектр качественных возможностей, заложенный в единой аналитической формуле, алгоритме, — законе, в конце концов! — очевидно, не вскроет никакой компьютер. Да и саму формулу «закона природы» компьютеры открывать не умеют. Наиболее перспективно сочетание этих двух математических подходов.

Правомерен вопрос: а не может ли быть создан соответствующий математический (аналитический) аппарат, по мощи и общности аналогичный дифференциальному и интегральному исчислениям, который «обслуживал» бы фрактальный аспект исследования Вселенной средствами не геометрии, а математического анализа? Когда меня очень давно осенила эта идея, «. я был уже в достаточной мере физиком, чтобы не сказать: «Ну, нет, этого не может быть. «» (Ф.Дайсон).

Говоря откровенно, я задаю сей вопрос чисто риторически (и даже в расчете на весьма вероятную недостаточную здесь информированность большинства читателей). Все дело в том, что такой аппарат уже давно существует, но незаслуженно мало известен. Основы его созданы (точнее, завершены) почти полтораста лет назад (!), в лучших традициях математики, заблаговременно готовящей для физики, астрономии и других наук математические понятия, методы, алгоритмы и целые исчисления. Вспомним аполлониеву теорию конических сечений, две тысячи лет ждавшую Кеплера; тензорное исчисление Риччи и «воображаемую геометрию» Лобачевского — «заготовки» для будущей ОТО.

Поставлена задача столь широкого обобщения была еще 300 лет назад самим Лейбницем. Над решением ее работали выдающиеся математики — Эйлер, Лаплас, Фурье, Лиувилль, Риман. Однако достаточно полное решение, в главных чертах, было найдено лишь во второй половине XIX в. (Первый вариант указан в 1858 г. итальянским математиком Тарди, а другой — в 1867 — 1868 гг., независимо и практически одновременно А.В.Летниковым в России и пражским математиком Л.К.Грюнвальдом.)

К сожалению, обобщение это осталось мало известным. Во всяком случае, от студентов его почему-то тщательно «хранили в секрете» в течение многих десятилетий! Непонятное пренебрежение вопросом, которым интересовались названные выше корифеи математики и который неизбежно должен был возникать хотя бы у пытливых (но не слишком эрудированных) студентов, привело к тому, что стали неизбежными попытки «изобретений велосипеда». Мне, например, известны целых три такие «изобретения» в России за полтора десятка лет в середине XX в., включая собственное [10], [11].

Главная причина более чем вековой невостребованности данного обобщения обычна и естественна: отсутствие в природе, как казалось, объектов, систем, процессов, которые требовали бы для своего понимания и описания операции дифференцирования (интегрирования) произвольного нецелого порядка (кратности), например: f (n) (х), где n — произвольно.

Стоит отметить и еще один момент. С эпохи Лейбница и до наших дней для указанного обобщения аппарата математического анализа не было предложено ни удачной символики, ни яркого и компактного термина. В наше время, после открытия фрактальности Вселенной, для соответствующего математического аппарата прямо-таки напрашивается и представляется неизбежным термин «фрактальное исчисление». Он лаконичен, емок, логичен, историчен и физичен. Мне кажется разумным остановиться именно на нем для наименования обобщения дифференциального и интегрального исчисления на дробные (включая комплексные) порядки производной и кратности интеграла.

В отличие от уже традиционного физического термина «фрактал», соответствующий математический оператор мог бы именоваться, скажем, «фракталл». Для обозначения же фракталла порядка n от функции f(z), я рискнул предложить в [12] новый символ, сочетающий стилизованные элементы знаков и интеграла, и дифференциала:

Не приходится опасаться того, что «фрактальный анализ» и «фрактальные уравнения» останутся невостребованными. Не думаю, чтобы в наше время кто-нибудь повторил ошибку знаменитого астронома и физика Дж.Джинса, утверждавшего, что есть творения математиков, которые никогда не пригодятся за пределами математики. В качестве очевидного примера он приводил теорию групп, на которую ныне завязана, как утверждают специалисты, добрая половина физики! Напротив, история науки многократно подтверждала правоту замечательного математика Ш.Эрмита: «Я убежден, что самым абстрактным спекуляциям Анализа соответствуют реальные соотношения, существующие вне нас, которые когда-нибудь достигнут нашего сознания».

Чуть-чуть фрактальной математики

«Главная задача математики наших дней состоит в достижении гармонии между континуальным и дискретным, включении их в единое математическое целое» (Ф.Т.Белл). Та же задача, видимо, стоит и перед физикой. И построение исчисления, включившего дискретные (целые действительные) значения фрактального оператора как частный случай, открывает реальные перспективы серьезного продвижения в решении указанной фундаментальной математической — физической — общенаучной — философской проблемы.

Контрастированное фрактальное множество

В расчете на тех читателей, которых заинтересует конкретное выражение «фракталла» — оператора «дробного дифференцирования/интегрирования», приведу вид его в форме, полученной мною в 1954 году. [10]. Как потом оказалось, выражение это (с точностью до тождественных преобразований) совпало с оператором, найденным за 96 лет до этого Тарди; а через четыре года после меня эквивалентное повторение результата Тарди было опубликовано А.В.Светлановым [11]. Опуская для простоты некоторую «дополнительную функцию», аналог произвольной аддитивной постоянной неопределенного интеграла, имеем:

(1)

Или максимально компактно:

(1а)

где Г — гамма-функция Эйлера. Для целочисленного v = n оператор при n = 0 дает просто функцию f(z); при n > 0 — производную n-го порядка от f(z), а при n (2)

При f=z β (где β – произвольно) получим результат, «угаданный» еще Эйлером:

(3)

Реальны ли фракталы?

Отсюда и делается приведенный выше, вроде бы убийственный для фракталов вывод. Однако, «в конечном счете ничто так не помогает победе истины, как сопротивление ей» (У.Чэннинг). Ведь вывод нашего критика напоминает, что по сути ни один объект теоретической науки, ни одна математическая модель природного объекта, процесса и т.д. «не являются реально существующими». Но в том трагедии нет. Ведь в действительности теоретические «точные науки» называются так. в отличие от «неточных», именно и лишь потому, что они строят и изучают точно задаваемые модели подлинных объектов, никогда не претендующие на идеальное отражение физической реальности. Исторический опыт науки показывает, что внутренне непротиворечивые модели все более адекватно представляют свойства наблюдаемых объектов, что в целом растет предсказательная сила науки.

Так и с фракталами. Да, «реальные системы не являются фракталами в точном [математическом] смысле этого термина, они могут быть только фракталоподобными». Аналогично реальная материя не является «строго континуальной», а лишь «континуально-подобной» в определенных пределах, на нескольких маршах бесконечной лестницы масштабов, или «дискретно-подобной» на других ее участках. Для приближенного описания ряда свойств и закономерностей существующих систем достаточно того, что они в каких-то конечных интервалах масштабов удовлетворительно представляются идеальной моделью фрактальной системы. В этом и состоит соотношение любых теоретических моделей с реальностью. В этом — единственно возможном и обычном во всей науке! — смысле ответ на вопрос скептика, поставленный в заголовке этого пункта, утвердителен и однозначен: да, фракталы реальны!

Фрактальная Вселенная и А.Д.Сахаров

Случилось так, что я имею информацию об одной из этих работ, непосредственно от И.Е.Тамма. В начале зимы 1959—1960 г. по его приглашению мне довелось беседовать с ним у него дома. В заключение беседы, уже провожая меня, И.Е. спросил: «А что еще интересного вы сделали?» — Я сказал, что несколько лет назад, по невежеству своему потратив массу времени, повторил обобщение дифференциального и интегрального исчисления на дробные порядки производной и интеграла.

— А вы знаете академика Сахарова? — неожиданно спросил И.Е.

— Да, конечно, я знаю о нем, — ответил я.

— Так вот, — продолжал И.Е., — первая работа Сахарова, по которой я познакомился с ним, было как раз такое обобщение!

На этом мы и распрощались. Пока остается неизвестным, какой именно путь молодой Андрей Сахаров нашел для построения того, что мы в эпоху фракталов вправе назвать фрактальным исчислением. Но то, что Сахаров не только интересовался этим вопросом (почти забытым тогда в математике и ставшим актуальным в физике лишь через 30 лет), но и решил его — судя по словам И.Е.Тамма, непреложный факт. Мы можем констатировать, что по меньшей мере одна из остающихся неизвестными его первых работ была посвящена не «теоретической физике небольшого масштаба», а очень нетривиальной математике.

«Фрактальная картина мира» косвенно, через математику, видимо, интуитивно предчувствовалась А.Д.Сахаровым еще полвека назад, подобно тому, как молодые Галуа и Абель создавали теорию групп, в конечном счете, для Реальной Природы, а Н.Лобачевский на нее же примерял свою «воображаемую геометрию».

Заключение

По существу, только начинающаяся всерьез «история фракталов» в современной науке, в нашей картине мира, помимо множества частных результатов и выводов, уже дает основание для ряда обобщающих заключений, на этом новом примере подтверждающих генеральные закономерности и тенденции развития науки — познания Вселенной.

Мы еще раз, на истории с фракталами, убеждаемся в парадоксальном характере научных революций и вообще крупных прозрений в науке, с удивлением и восторгом открываем то, что всегда видели вокруг себя, но не замечали. Фракталы-деревья растут вокруг нас. Но, вопреки пословице, до недавних дней за лесом мы не видели отдельного, всегда так или иначе фрактального дерева. Фрактальные белые облака от века плыли у нас над головами по фрактально голубому небу. На фрактальном морском бережку мудрый Аристотель, прихлебывая фрактальную простоквашу, обдумывал важные, но совсем другие проблемы, не замечая этой; а его легкомысленный соплеменник, молодой древний грек, перебрав неразведенного фрактального вина из плодов фрактального виноградного куста, заплетающимися ногами выписывал фрактальную траекторию на площади у Парфенона. А уж совсем в нашу эпоху сонмы ученых, разбредясь по фрактальным маршрутам своих лабораторий, до мозолей на фрактальных извилинах изучали кто почву земли-матушки, кто фликкер-шум в радиоприемнике, кто переменные звезды и квазары; а кто углубился «в себя», в систему своих кровеносных сосудов или даже ресничек на стенках кишечника, и т.д., но оказалось, что все они изучали «одно и то же» — Фракталы в Природе, во Вселенной!

Открытие фрактальности Мира еще раз подтвердило «поразительную эффективность математики в естественных науках» (Е.Вигнер). Очевидно, приведенные выше сетования на то, что физическая концепция фракталов якобы «не имеет адекватного аппарата в традиционной математике» (Дж.Лэн и др., 1990), все же неправомерны, и математика давно уже, с самого Лейбница, прилагала значительные усилия для «заблаговременного» обеспечения физики «фрактальным исчислением», и вот уже более чем сотню лет назад решила эту задачу. Математика и на этот раз оказывается, так сказать, «превентивной физикой»!

Да, в физической Природе не существуют ни идеальный газ, ни континуальная материя, ни фрактальные объекты с «действительно бесконечной» лестницей иерархических этажей. Но это не делает беспредметными ни дифференциальное, ни интегральное, ни фрактальное (!) исчисления, ни небесную механику, ни идеальную тепловую машину Карно, ни современную теорию фракталов.

Открытие фрактальности Вселенной распутывает гигантский клубок труднейших проблем во всех областях естествознания. Та «прореха» в картине мира, где не хватало фракталов, заполнялась, как обычно бывает, натягиванием на подобную «черную дыру» соседних элементов этой картины, что сильно деформировало полученный таким образом фрагмент изображения. Да и соседние, неестественно растягиваемые фрагменты искажались, а наши представления о Природе в уже изученных областях оказывались неадекватными, лишенными правильных связей и пропорций. Ошибки, ранее не замечавшиеся рядом и на фоне соседней Гигантской Деформации, теперь-таки получают шанс на исправление.

Какие конкретно неожиданные сдвиги и прорывы в этих соседних областях принесет установление фрактальности Вселенной — заранее сказать невозможно. Но есть уверенность, на основе всего предшествующего опыта познания Вселенной, что принесет! «Под всякой бездной раскрывается другая, еще более глубокая» (Р.У.Эмерсон). Это может быть, к примеру, и новое понимание всей фундаментальной концепции Хаоса — одного из важнейших понятий и научного, и философского, и даже религиозного мировоззрения. Здесь, как говорится, все возможно.хотя «заранее тут ничего нельзя сказать, милый Винни. И это, конечно, как раз самое интересное!» (А.Милн, из историй о Винни-Пухе).

1 Имеется в виду концепция акад. Н.С.Кардашева о возможных формах сверхцивилизаций, отличающихся разной степенью освоения пространства и его энергетических ресурсов.

2 См. статью В.В.Казютинского «Феномен русского космизма» в ж. «Дельфис» №1/1994. — Прим. ред.

3 См. статью А.А.Сазанова в ж. «Дельфис» №3/1996; №№ 1,2/ 1997. — Прим. ред.

4 Читателю напомним: существует мало известная точка зрения, во многом неожиданная, что растительную структуру, например крону дерева, можно отождествить с неким турбулентным потоком, в котором каждый малый вихрь соотносится с почкой, листом, цветком, плодом (имеются в виду публикации Н.Н.Якимовой в ж. «Дельфис»).

6 См., например, статью Н.Н.Якимовой «Структурная матрица физической Вселенной» в ж. «Дельфис» №2/1995. — Прим. ред.

7 Г.М.Идлис со своих позиций также говорит о «сквозной фрактальности Вселенной», см. ж. «Дельфис» №2/1994, с.46.

8 Ср. настойчиво проводимую идею «Золотого ветвления» у Н.Н.Якимовой в ж. «Дельфис» №1/1995, с.51—59.

9 Положение, возможно, не совсем уж безнадежно. Возвращаясь «с неба» (из Большой Вселенной) на Землю, можно отметить, что ноябрем 1997 г. датировано проведение конференции «Науки о Земле на пороге XXI века: новые идеи, подходы и решения»,в частности, с вопросом — «Фрактальный анализ геологических объектов и явлений».

10 См. также Х.О.Пайтген, П.Х.Рихтер «Красота фракталов» (Образы комплексных динамических систем). Изд. «Мир», 1993. — Прим. ред.

11 Хотя пока «не существует общепринятого формального определения странного аттрактора» (Г.Шустер); пожалуй, так обычно называют предельное состояние эволюции динамической системы, оказывающееся неустойчивым.

12 О комплексных числах см. статью А.А.Сазанова в ж «Дельфис» №1/1997. — Прим. ред.

13 Тогда, надо думать, раздвинутся необыкновенно рамки существующего синергетического подхода в науке, успешно рассматривающего и примеряющего на Природу решения пока самых простых нелинейных дифференциальных уравнений. — Прим. ред.

[1] Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М., 1990, с.277..

[2] Розгачева И.К. Фракталы в Космосе // «Земля и Вселенная», 1993, №1, с.10-16.

[3] Сандер Л.М. Фрактальный рост // В мире науки, 1987, №3, с.62-69.

[4] Юргенс X., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Язык фракталов // В мире науки, 1990, №10, с.36-44.

[5] Синай Я.Г., Халатников И.М. // Фракталы в физике. М., 1988, с.5-7.

[6] Еремеева А.И. Астрономическая картина мира и научные революции // Вселенная, астрономия, философия. М., 1988, с.169-180.

[7] Дьюдни А.К. Получение изображений с помощью компьютера // В мире науки, 1985, №10, с.80 —87.

[8] Линник Ю.В. Эстетика Космоса. М., 1988.

[9] Компьютеры меняют лицо математики // В мире науки, 1989, №5, с. 101.

[10] Цицин Ф.А. О возможности обобщения операций дифференцирования и интегрирования. 1954. 4 с. (Рук., архив автора).

[11] Светланов А.В. Основы обобщенного дифференциальноинтегрального исчисления. ДАН СССР, 1958, т. 123, №6, с.981-983.

[12] Цицин Ф.А. Астрономическая картина мира: новые аспекты // Астрономия и современная картина мира. М., РАН, 1996, с.З —39.

[13] Акчурин И.А. // Теория познания и современная физика. М., Наука, 1984, с.293-306.

[14] Хайтун С.Д. Механика и необратимость. М.: Янус, 1996, с.447.

[15] Памяти Андрея Дмитриевича Сахарова // Успехи физических наук, 1990, т.160, вып.6, с.163-166; то же // Он между нами жил. (Воспоминания о Сахарове). М.: Практика, 1996, с.9-13.

Источник