Фракталы что это кратко
Теория фракталов
Еще в конце XIX — начале XX в. ученые математически описали необычные структуры, которые удалось изобразить много позже только с помощью компьютера. Это фракталы. Слово происходит от латинского fractus, одно из значений которого — «сломанный, разбитый». Широкую популярность фракталы обрели в 1983 г. после выхода книги Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».
Действительно, у многих структур имеется фундаментальное свойство, которое называется геометрической регулярностью. Оно известно как инвариантность по отношению к масштабу, или самоподобие. Когда рассматриваешь некоторые объекты в разных масштабах, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти закономерности повторяются и определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Природные формы описываются фрактальной геометрией, вероятно, более изящно и точно, чем евклидовой.
Итак, фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
В природе фракталов очень много. Возьмем, например, дерево, кровеносную систему, облако, берег моря. У них есть общее свойство — самоподобие. От ствола дерева отходят толстые ветки, от них — ветки потоньше и т.д. Фрагмент облака похож на большое облако. От артерий отходят артериолы, от них, в свою очередь, — капилляры. То есть ветка подобна всему дереву, а артериолы с капиллярами — всей кровеносной системе. То же самое происходит и с морским берегом. На космических снимках морского побережья видны полуострова и заливы, с высоты птичьего полета можно различить мысы и бухты, а если мы стоим на самом берегу, то видим уже мелкие неровности берега вплоть до камешков, которые выдаются в воду дальше, чем остальные. Таким образом, при увеличении масштаба неровная береговая линия остается неровной, похожей сама на себя.
В наши дни теория фракталов широко применяется в разных областях. Это фрактальная живопись: сегодня каждый может попробовать себя в ней, используя компьютер. Это теория информации, в которой свойство самоподобия фракталов используется для сжатия графических данных. Ведь для фрагмента рисунка требуется гораздо меньше памяти, чем для всего изображения. А восстановить целое можно из этого единственного фрагмента. Это география, где с помощью фрактальной геометрии можно создать весьма правдоподобные модели рельефа или поверхности водоемов. Это радиоэлектроника, где создаются антенны, обладающие фрактальной структурой. Они занимают меньше места, чем обычные, но обеспечивают качественный прием сигнала. Это экономика, где фрактальная математика описывает колебания курсов валют. Так что фракталы, можно сказать, вездесущи.
Бесконечна ли граница
Интересные результаты получаются и при измерении общих границ между двумя странами. Математик, физик и метеоролог Льюис Ричардсон обнаружил это, пытаясь дать математическое описание причин и вероятности войны между двумя государствами. Одним из параметров была протяженность общей границы. Собирая информацию, ученый изучал границы между всевозможными странами и обнаружил, что разные источники предоставляют различные данные об общей границе между Испанией и Португалией. Оказалось, что длина границ зависит от линейки, с помощью которой их измеряют. Чем крупнее масштаб, тем точнее измерение, тем больше ранее проигнорированных изгибов учитывается и тем длиннее граница! А если увеличивать масштаб бесконечно, то и граница окажется бесконечной. Хотя технически это невозможно — всякая точность измерения имеет свой предел. Этот парадокс носит название эффекта Ричардсона.
Фрактал
Из Википедии — свободной энциклопедии
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.
Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:
Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.
Фрактал
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.
Содержание
Термин
Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
История
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например,функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Примеры
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.
Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть 
— сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: 
Можно показать, что отображение 
является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а 
— число звеньев генератора.
Для треугольника Серпинского 
и отображения 
, 
, 
— гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .
В случае, когда отображения 
— преобразования подобия с коэффициентами 
0″ border=»0″ />, размерность 
фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения 
. Так, для треугольника Серпинского получаем 
.
По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.
Фракталы в комплексной динамике
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:
Множества значений z0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.
Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z0, для которых поведение последовательности <zn> может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0.
Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность <zn> демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0. Так, множество Мандельброта — это множество всех 
, при которых <zn> для F(z)=z 2 +c и z0 не стремится к бесконечности.
Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления <zn> к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |zn| превысит фиксированную большую величину A.
Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
В природе
Применение
Естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
Радиотехника
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.
Информатика
Сжатие изображений
Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [источник не указан 779 дней] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
Децентрализованные сети
Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
Экономика и финансы
А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.
Фрактал
Множество Мандельброта — классический образец фрактала
Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Содержание
История
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора ). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Примеры
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Построение кривой Коха
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть 
— сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а — число звеньев генератора.
Для треугольника Серпинского и отображения , , — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .
В случае, когда отображения — преобразования подобия с коэффициентами 0>» />, размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .
Фракталы в комплексной динамике
Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
Пусть — многочлен, — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:
.
Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:
Множества значений , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.
Так, множество Жюлиа на картинке справа — множество точек бифуркации для многочлена , то есть тех значений , для которых поведение последовательности может резко меняться при сколь угодно малых изменениях .
Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность демонстрирует определённое поведение при фиксированном . Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых для и не стремится к бесконечности.
Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер , при котором превысит фиксированную большую величину ).
Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.
Стохастические фракталы
Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
Применение фракталов
Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.
Анализ рынков
Последнее время фракталы стали популярным инструментом у трейдеров для анализа состояния биржевых рынков.
Физика и другие естественные науки
Литература
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:
В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:
В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:
Фрактальные антенны
Сжатие изображений
Ещё одно фрактальное дерево
Децентрализованные сети
Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.