Фракталы для чего нужны
Образовательный блог — всё для учебы
Чем актуальны фракталы
Большинство систем в природе сочетают два свойства:
• во-первых, они очень велики, часто многогранны, многообразны и сложны,
• а во-вторых они формируются под действием очень небольшого количества простых закономерностей, и далее развиваются, подчиняясь этим простым закономерностям.
Это самые разные системы, начиная от кристаллов и просто кластеров (различного рода скоплений, таких как облака, реки, горы, материки, звёзды), заканчивая экосистемами и биологическими объектами (от листа папоротника до человеческого мозга).
Фракталы являются как раз такими объектами: с одной стороны — сложные (содержащие бесконечно много элементов), с другой стороны — построенные по очень простым законам. Благодаря этому свойству, фракталы обнаруживают много общего со многими природными объектами. Но фрактал выгодно отличается от природного объекта тем, что фрактал имеет строгое математическое определение и поддаётся строгому описанию и анализу.
Поэтому теория фракталов позволяет предсказать скорость роста корневых систем растений, трудозатраты на осушение болот, зависимость массы соломы от высоты побегов и многое другое.
Пример применения фракталов
Летят два облака. Первое отбрасывает тень площадью A, второе — B. Эти облака сливаются в одно. Какова будет площадь C тени этого нового облака?
Ответив на этот вопрос, можно уже делать выводы о том, какова же будет суммарная облачность.
Облака двумерные?
Если бы облака имели бы размерность 2 (то есть были бы плоскими), то они бы просто объединись и ответ бы был просто суммой
То есть два облака складываются как два куска обоев.
Но это не верно. Суммарное облако станет не только шире и длинней слагаемых, оно станет ещё и выше. При той же массе площадь будет меньше суммарной.
Рассматривая облака, уместно считать мерой массу, так как именно этот параметр лучше всего удовлетворяет определению меры.
Облака трёхмерные?
Если бы размерность облаков была бы 3 (то есть они бы были монолитные и без пустот), то ответ бы был
Если справедливость этого выражения вызывает у вас сомнения, то предлагаю следующую аргументацию (мне бы не хотелось пускаться тут в точное доказательство). Давайте предположим, что облака имеют форму кубов. (Кубы — монолитные и трёхмерные объекты; с таким же успехом можно было бы взять шары, пирамиды или любые другие тела.) Пусть первое облако-куб имеет сторону a метров, а второе — b метров. Когда облака сложатся, то суммарное облако-куб будет иметь сторону c метров и объём равный сумме объёмов исходных облаков:
Предположим, что площади теней кубов равны площадям их сторон (это не ограничивает общности рассуждений). Тогда для площадей имеем следующие выражения:
В результате получаем выражение
Но и этот ответ не верен, потому, что облака не монолитные.
Размерность облаков
Оказывается, что размерность облаков не целая — 2.3. Правильная формула такова:
Как видите, у нас есть теория, описывающая объекты нецелой размерности и есть сами объекты и мы успешно применили теорию к этим объектам.
Конечно, одной этой формулы не достаточно для предсказания погоды. В реальности облака не только сливаются и разделяются, они появляются и исчезают, растут и уменьшаются, меняют свою структуру… Наша формула описывает лишь одну из составляющих всех возможных превращений. Но эту составляющую она описывает правильно.
Популярно о фракталах: применение фракталов и обзор программ
Технические науки
Похожие материалы
Фрактальная геометрия позволяет наиболее удобным способом моделировать окружающую действительность, что проявляется в способности виртуальных компьютерных фракталов достаточно хорошо имитировать реальные объекты как живого, так и неживого мира. Это дает возможность выполнять компьютерные эксперименты, воспроизводящие такие явления и процессы, с которыми по ряду причин невозможно провести эксперименты в реальном мире.
Фрактальные модели позволяют обнаружить отдельные закономерности и упорядоченность даже в таких системах, в которых, на первый взгляд, присутствует только беспорядок и хаос (состояние хаоса не эквивалентно случайному поведению, т.к. наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только на первый взгляд кажутся случайными, на самом же деле их значения полностью предопределены входными параметрами системы).
В настоящее время на основе сравнительно простых алгоритмов существует возможность создания трехмерных изображений оригинальных ландшафтов и форм, способных преобразовываться с течением времени в совершенно захватывающие изображения. При этом очень часто генерируемые компьютерной программой искусственные изображения фракталов настолько схожи с естественными природными объектами или явлениями, что их очень сложно отличить друг от друга [10, 16, 19, 20].
Действительно, схожие с различными фрактальными структурами геометрические формы, явления и объекты природы можно встретить в различных областях науки [5, 6]. В астрофизике — при изучении процессов звездообразования и неоднородного распределения вещества во Вселенной (например, процесс кластеризации галактик, первая попытка моделирования которого была предпринята группой ученых под руководством Лучано Пьетронеро в 1987 г.), в картографии — при изучении форм береговых линий и сетей русел рек, в биологии — при анализе строения кровеносной, мочевыделительной и нервной систем, изучении сердечного ритма, моделировании популяций [1, 8, 12, 14, 15, 17, 18, 21]. При этом некоторые из древовидных фракталов применяются для моделирования не только растений и деревьев, но и для моделирования почек, кровеносной системы, бронхиального дерева.
Фрактальная геометрия может использоваться при моделировании структуры пористой среды (например, упрощенные модели пористых сред, принятые в работах [3, 4, 9, 11], могут быть вполне заменены фрактальными аналогами), изучении турбулентных явлений и биосенсорных взаимодействий, поглощения и рассеяния излучений в пористых средах, социальных и политических процессов, при моделировании свойств поверхностей твердых тел, жидкостей и почв (рис. 1), для моделирования молнии (рис. 2) и изучении электрического пробоя, при исследовании процессов разрушения материалов и стадий роста и агрегации вещества (например, процессы электролиза, осаждения, фильтрации), в компьютерных играх (на рис. 3 показано изображение планеты, сгенерированное на основе фрактала), при анализе колебаний курсов валют и ценных бумаг, при описании хаотического поведения нелинейных диссипативных и динамических систем [1, 7, 11, 15].
Рисунок 1. Структура высохшей почвы, напоминающая фрактал
Фрактальные структуры образуются в растворе при образовании геля (кластера, состоящего из соединенных частиц-золей); при образовании подобных систем в дымах и туманах; при образовании пленок на поверхности в процессе напыления их из струи, содержащей аэрозоли; при образовании кластеров из частиц, находящихся в суспензиях и коллоидных растворах.
Алгебраические фракталы, как уже было отмечено выше, можно рассматривать как поведение нелинейной динамической системы в фазовом пространстве. Другими словами итерации, определяемые некоторой простой формулой, описывают траекторию системы в этом фазовом пространстве. При этом совокупность всех возможных начальных условий системы в большинстве своем представляет собой фрактал, а значит, изучая взаимодействие отдельных определяющих факторов системы, можно с достаточно высокой точностью предсказывать пути эволюции системы.
Рисунок 2. Сложная самоподобная структура молнии
Рисунок 3. Изображение планеты, полученное на основе фрактала
Рассмотрим некоторые направления использования фракталов и возможности их применения более подробно.
Первое практическое применение фракталам нашел Лорен Карпентер в 1978 году, через 3 года после опубликования Б. Мандельбротом своих работ по фракталам. Карпентер применил фрактальные алгоритмы при создании горных массивов в компьютерной графике и обнаружил, что они удивительно реалистичны. Идея алгоритма была проста: Карпентер, используя более крупные треугольники, делил их на четыре мелких и затем применял эту процедуру к каждому из получившихся мелких треугольников до тех пор, пока не получался реалистичный горный ландшафт. На каждой итерации он приподнимал или опускал вершины мелких треугольников на определенную величину.
Прошло чуть менее 40 лет, и сегодня роль фракталов в машинной графике просто огромна. Фракталы приходят на помощь, когда необходимо на основе всего лишь нескольких коэффициентов задать линии, поверхности и другие объекты очень сложной формы. Фрактальная геометрия просто незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря, искусственного ландшафта, и т.д. Еще одно интересное применение фракталы нашли в такой области как компьютерное искусство (рис. 4, 5). Здесь они не только служат науке, но и помогают художникам создавать самые фантастические картины.
Фракталы используются и в сфере передачи информации. Так, одним из перспективных направлений использования фракталов является фрактальное сжатие изображений, которое позволяет добиться высокой степени сжатия при малых потерях качества. Ведущий разработчик в этом направлении — Майкл Барнсли, основавший совместно с Аланом Слоаном в 1987 г. компанию Iterated Systems Inc. По оценкам, приведенным в работах [2, 13], в отдельных случаях коэффициент фрактального сжатия может достигать 2000.
Рисунок 4. Компьютерное искусство: Роза
Рисунок 5. Компьютерное искусство: Леопард
Еще одна область использования фрактальных структур — в радиоэлектронике, а именно, в конструкции антенн. Первым воплотил идею использования фрактала в качестве антенны радиолюбитель Натан Коэн, причем сделал он это не осознанно, после посещения лекции Б. Мандельброта. Стремление Н. Коэна создать антенну с более высокой чувствительностью при небольших размерах являлось целью всех его экспериментов. Небольшие размеры были как одно из обязательных условий в силу того, что Коэн снимал жилье в центре Бостона и владелец жилья был категорически против размещения больших антенн на крыше здания. Эксперименты с различными формами антенн и увлечение фракталами привели Н. Коэна к изготовлению антенны в форме кривой Коха. Антенна была сделана из обычной проволоки и подключена к радиоприемнику. Оказалось, что чувствительность такой антенны была намного выше, чем у всех других сконструированных антенн. Проведя дополнительные исследования, было также обнаружено, что антенна в форме кривой Коха покрывает куда более широкий диапазон частот и имеет очень высокий КПД по сравнению с другими классическими решениями. Форма самой антенны при этом позволила существенно уменьшить ее геометрические размеры. Коэн запатентовал свое открытие и вскоре основал фирму по разработке и изготовлению фрактальных антенн (Fractal Antenna Systems). Технологии фрактальных антенн в настоящее время используются в сотовых телефонах.
Фракталы находят применение и в таких отраслях, в которых их использование на первый взгляд совсем не очевидно. Так, например, музыкант Джонатан Колтон на основе фрактальных алгоритмов пишет музыку. По его утверждениям фрактальные мелодии наиболее полно соответствуют природной гармонии. Все свои произведения Колтон публикует под лицензией, предусматривающей их свободное распространение, копирование и передачу.
Японский дизайнер Такеши Миякава использовал принцип фрактальности при создании мебели, а именно одной из моделей тумбочек. Она состоит из 23 ящиков, причем ящики расположены так, что практически полностью используют все выделенное под тумбочку пространство в форме куба (рис. 6).
Рисунок 6. Оригинальное дизайнерское решение: тумбочка-фрактал
Если рассмотреть человека в целом, то окажется, что он, по сути, тоже представляет собой фрактал в некотором приближении. Действительно, во-первых, человеческий организм состоит из множества взаимосвязанных структурно-функциональных звеньев. Во-вторых, человеку, как открытой системе, свойственна саморегуляция и самоорганизация. В-третьих, человеческому организму свойственно самоподобие, проявляющееся на разных уровнях его организации.
Нелинейность и фрактальность наблюдается во всех системах и органах человека. Рассмотрим лишь некоторые примеры.
Так, кровеносные сосуды (аорты, вены, капилляры) образуют своего рода сплошную среду и отражают свою фрактальную природу. Многократно делясь и разветвляясь, они пронизывают все ткани и органы человека (общая протяженность всех сосудов человека около 100 тыс. км).
Рассматривая электрокардиограмму сердца, также можно сделать вывод, что электрическая активность сердца фрактальный процесс.
Наконец, человеческий мозг (кстати, на 80% состоящий из воды и содержащий на момент рождения порядка 14 млрд. клеток) рекурсивен по своей природе. Процесс мышления, не изученный до конца до сих пор, является результатом взаимодействия стабильности и хаоса, линейной нелинейной активности. Профессором психологии Оклендского университета (Новая Зеландия), Майклом Корбаллисом, выдвинуто утверждение о том, что именно рекурсия делает человека человеком. Корбаллис уверен, что именно рекурсия позволяет человеку мыслить во времени, оценивать настоящее, вспоминать прошлое и задумываться о будущем. Он отмечает, что рекурсия ответственна и за то, что человек способен к фантазиям: мы можем смешивать реальное и вымышленное.
Учитывая вышесказанное, можно выдвинуть предположение о том, что как сам человек, так и любой продукт взаимодействия людей может демонстрировать (или демонстрирует) фрактальную природу.
Обзор компьютерных программ для построения фракталов
Перечислим и кратко охарактеризуем ряд программ, которые предназначены для работы с фрактальной графикой.
Art Dabbler. Пакет создан фирмой Fractal Design, принадлежащей теперь Corel. Редактор обладает достаточно мощными средствами рисования и редактирования изображений, позволяющими создавать вполне реалистичные результаты.
Apophysis 7x. Редактор фрактальной графики с открытым исходным кодом для генерации фракталов на основе базовых формул. Включает в себя редактор для редактирования как отдельных, так и составных фрактальных изображений. Так, редактор позволяет выполнять трансформацию фрактала либо изменением лежащих в основе него треугольников, либо применением методов преобразования (перспектива, размытие по Гауссу, искажение, и др.). Отдельно стоит отметить возможность экспериментирования с цветами.
Fractal Explorer. Позволяет создавать изображения фракталов и трехмерных аттракторов. Предусмотрено два способа генерации фракталов: на основе базовых фрактальных изображений (строятся по определенным формулам) и на основе своей формулы (при этом можно выбрать тип фрактала из порядка 150 вариантов).
ChaosPro. Можно сказать, что это один из лучших бесплатных генераторов фракталов. Позволяет строить фракталы с изменением большого количества настроек (количество итераций, степень размытия, цветовая палитра, размер изображения, особенности проецирования, и т.д.). Имеется поддержка многослойных изображений с настройкой режимов смешивания слоев и серия специальных фильтров. Возможно создание трехмерного представления фрактала на основе двумерных изображений.
Mystica. В отличие от перечисленных выше программ является платной. Позволяет генерировать уникальные двумерные и трехмерные изображения и текстуры. Программа может использоваться для создания трехмерных сцен (ландшафтов) при разработке компьютерных игр. Генерация изображений выполняется на основе заложенных в пакет фрактальных формул с дальнейшей тонкой настройкой множества параметров (в том числе применение фильтров, изменение освещенности, корректировка цвета, внедрение стохастических структур).
Ultra Fractal. Видимо, лучшее платное решение для создания уникальных фрактальных изображений профессионального качества. Генерация фракталов выполняется или в ручном режиме (на основе собственной формулы), или на основе большого количества прилагаемых в поставке программы формул. На любом этапе работы формулу можно редактировать. Поддерживается настройка огромного количества параметров, влияющих на конечный вид фрактала, в том числе работа со слоями, разнообразными эффектами и масками.
Список литературы
Завершение формирования электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»
Создание электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»
Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.
Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.
Что такое фракталы? Мир вокруг нас. Часть первая
«Вся сложность в простоте»
«. всё фрактально повторяется в этом материальном мире…»
«СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»
Что такое фрактал
Что такое фрактал? Как устроен мир вокруг нас? Что лежит в основе всего? Почему наша Галактика по форме похожа на раковину Наутилуса, человеческий глаз на космическую туманность, а клетки мозга на всю нашу Вселенную?
Кому из вас не доводилось видеть похожие формы в живых и неживых объектах? Будто одна и та же формула, пронизывает всё вокруг.
Рис. 1. Фотография Вселенной, клетки мозга, рождение звезды, деление клетки, глаз человека и туманности
Схожие формы встречаются повсюду, от микро- до макромира: в минералах, растениях и животном мире, в структуре ДНК, в природных явлениях (циклоны, молнии, береговые линии), планетарных системах и звёздных скоплениях. Они присутствуют и в живых организмах.
Каковы закономерности и в чём причина такого сходства? Объяснением этому является фрактал. Фрактальность также прослеживается как в самом человеке, так и во взаимоотношениях в семье, коллективе и обществе в целом.
Рис. 2. Пример фракталов: клетки лука и эзоосмическая решётка
Фрактал (лат. «fractus» – дроблёный) – самоподобие (копирование) геометрических фигур, где каждый фрагмент дублируется в уменьшающемся масштабе. В природе это явление встречается очень часто.
Можно сказать, что фрактал – это узор, который повторяет сам себя в разных масштабах до бесконечно малого или/и бесконечно большого. Он рождается не просто повторением форм, а скорее повторением процесса, который применяется к форме. Бесконечная цепочка самопостроения.
В природе ярким примером такого узора является капуста сорта «Романеско».
Рис. 3. Пример фрактала в природе, капуста «Романеско»
История открытия фракталов
Опираясь на найденные интересные артефакты, мы видим, что знаниями о фракталах располагали люди ещё в древности. Их изображение мы находим на керамике Трипольской культуры (с 5450 по 2700 год. до н. э.), в очертаниях построения селений и городищ, архитектуре зданий. Более подробно об этом будет рассказано во второй части статьи.
На данный момент нам не известно, каким термином называли наши предки явление самоподобия объектов. Но точно можно сказать, что знания о фракталах входили в раздел «сакральной геометрии» прошлого. Понимание математической закономерности всего миропорядка было естественным ещё тысячелетия назад.
К примеру, выдающемуся зодчему Древнего Египта Имхотепу удалось возвести первую в той стране ступенчатую пирамиду – грандиозное фрактальное сооружение с чёткими математическими пропорциями. К слову сказать, группа близких Имхотепу людей называли Бога не иначе как Великим Зодчим Мироздания. А во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры – воплощение сакральной геометрии и фрактальных узоров в камне.
Однако, со временем учёные выбрали другой, материалистический путь развития науки, который увёл нас далеко от этих знаний, и божественные законы были забыты.
Как современники пришли к понятию «фрактал»
В области изучения фракталов ещё в конце ХIX – начале ХХ веков работали многие учёные: Пьер Фату, Жюль Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф, Гастон Жюлиа. Они и заложили математическую базу для появления теории фракталов.
Появление вычислительных устройств позволило ускоренно проводить итерации (многократно повторяющийся процесс вычисления) и визуализировать формулы. А сама идея ввести формулу Гастона Жюлиа в компьютер и с его помощью произвести громоздкие расчеты пришла в голову Мандельброту приблизительно в 1977 году. Раз за разом, меняя переменную C, он получал новые удивительные изображения. Таким образом, множества Жюлиа приобрели геометрические формы. (см. Множества Жюлиа). В 1980 г. программа отпечатала нечто похожее на кляксу. (см. фрактал Мандельброта). Это простое на первый взгляд изображение при приближении выявляет в себе новые и новые отображения множеств Жюлиа, которым нет предела.
Рис. 4. Изображения фракталов. Фрактал Мандельброта. Множество Жюлиа
Много современных учёных успешно работали в данном направлении. Заслуга Бенуа заключается в том, что он первым визуализировал уже имеющиеся формулы, показав всему миру их невероятную красоту, и дал ныне существующее название этому явлению.
Виды фракталов
Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них:
Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.
Рис. 5. Примеры геометрических фракталов
Рассмотрим принцип построения фракталов на примере – «Снежинки Коха» (рис. 6).
Он строится путём многократного разделения отрезка линии на 3 равные части и замены средней части на 2 новых отрезка той же длины. Число сторон каждый раз учетверяется, вследствие чего становится бесконечно великим. Периметр снежинки имеет бесконечную длину, но площадь при этом конечна, так как фигура является замкнутой.
Рис. 6. Фрактал – «Снежинка Коха»
«Снежинка Коха» стала основой фрактальных антенн, которые мы используем в мобильных устройствах. Благодаря такой форме антенны имеют компактный размер с широким диапазоном действия.
Рис. 7. Примеры фрактальных антенн
По принципу построения интересен также «Треугольник Серпинского».
Возьмём равносторонний треугольник, отметим середины его сторон.
Соединим срединные точки прямыми линиями. Образовались 4 треугольника.
Центральный треугольник вынимаем и «выкидываем».
Теперь повторим эту операцию с каждым из вновь образовавшихся треугольников. И так до бесконечности.
Рис. 8. Построение треугольника Серпинского
Из этого примера легко увидеть, что количество треугольников увеличивается, и сумма их периметров (сумма сторон треугольников) стремится к бесконечности, а сумма площадей – к нулю.
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Разбирая способ построения, можно увидеть, что «вынимая» из треугольника всё наполнение после каждой итерации (повторение операции построения), мы постоянно уменьшаем его площадь и в результате сводим её к нулю.
Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.
Рис. 9. Изображения алгебраических фракталов
Не менее популярным является способ построения, основанный на комплексной динамике. В результате образуются фракталы, напоминающие живые организмы – биоморфы. (рис.10).
Рис. 10. Изображения фракталов – «биоморфы»
Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья (рис.11). Также представителем данного вида является – «плазма» в природе:
Рис. 11. Стохастические фракталы
Концептуальные (социокультурные, непространственные) фракталы
Этот вид объединяет непространственные структуры, выходящие за рамки геометрической фрактальности. Принцип многоуровневого самоподобия заложен в культурных произведениях. В художественных текстах (стихах для детей, народных песнях, в музыкальных произведениях и сказках) часто встречается «рассказ в рассказе».
«У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать ли сказочку сначала. У попа был двор. »
Дедка, бабка, внучка.
Дедка, бабка, внучка, Жучка и т.д.
Фрактальность наблюдается в организации человеческих поселений (страна – город – квартал); в распределении общества на группы (народ – социокультурная группа – семья – человек). Сюда же отнесём фрактальность взаимоотношений, которые начинаются с самого человека. Меняется человек, его восприятие, внутреннее состояние – изменяется взаимоотношение в семье, коллективе, в итоге преобразуется всё общество. Прослеживается фрактальность в иерархических системах управления.
ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ
Рис. 12. Фракталы в природе
Один из наглядных примеров фрактальной формы – береговые линии, которые отличаются друг от друга степенью своей изрезанности. Нет абсолютно одинаковых протоков, но их общие очертания как будто нарисованы одним лекалом. Эти очертания независимо от размера очень похожи. Маленький проток – это уменьшенная копия большого. Если увеличить верхний правый угол картинки, то она будет аналогична всей картине, изображенной на рисунке.
Рис. 13. Береговые линии
Растительный мир нашей зелёной планеты богат и разнообразен. На первый взгляд кажется, что в нём нет никакой закономерности: растения в лесу расположены беспорядочно, ветки с листьями на растениях тоже. Но возьмём, к примеру, дерево. Если рассматривать дерево поднимаясь от основания к вершине, то видно, как от ствола отходят большие ветви, на больших ветвях идёт такое же разветвление меньших веток, и дальше форма разветвления в любой части дерева будет повторяться, лишь уменьшаясь в размере к вершине. И зная принципы построения фракталов, изучив все закономерности расположения веток на вершине дерева, нетрудно догадаться, как выглядит это же дерево у своего основания.
Крона – это видимая часть дерева, которая является отражением корневой системы. А корни, в свою очередь, тоже имеют ярко выраженное фрактальное строение. (рис.14, б).
Рис. 14. Фракталы в природе на примере дерева
Самое интересное, что прожилки на листьях тоже образуют фрактальный рисунок, очень похожий на плоское миниатюрное дерево (рис.15). Нет листьев с одинаковым рисунком, так же как нет людей с одинаковым отпечатком пальца. Рисунок на каждом листе уникален.
Рис. 15. Фрактальность в листьях
Комнатное растение (королевская бегония) – яркий пример проявления фракталов в рисунке листьев. Маленькие листочки по форме и сочетанию цветов аналогичны большим, хотя и не являются их точной копией (рис.16).
Рис. 16. Листья королевской бегонии
Один из самых старых видов наземных растений – папоротники. Учёные полагают, что они существуют более 350 млн. лет. Строение листа этого растения очень похоже на компьютерный фрактал (рис.17). Именно это растение является ярким доказательством того, что чем древнее биологическая форма, тем чётче в ней прослеживается фрактал, то есть форма организма строится по простым правилам.
Рис. 17. Листья папоротников
Съедобные растения тоже несут в себе формы самоподобия. Красная капуста в продольном срезе имеет фрактальный рисунок. (рис.18)
Рис. 18. Фото разных сортов капусты
Казалось бы, тугой кочан капусты, а его красота может вдохновить даже художника. Белые утолщения центральных черенков плотно прижатых листьев образуют волшебный фрактальный лабиринт.
Лишайники так же как папоротники и мхи – это самые древние представители растительного мира, поэтому фракталы в них выражены особенно ярко. В их узлах содержатся те же фрактальные формы, что и по краям.
Фрактальность мироустройства, энергии.
Спираль как фрактал
Мир вокруг нас разнообразен. Многие объекты, существующие в природе, являются фракталами. В их основе лежит Божественная пропорция (число Фи) – это Золотое сечение и золотая спираль, благодаря которой мы воспринимаем красоту и гармонию природы, пропорциональность строения человека, древней архитектуры, классических произведений искусства.
Золотая спираль строится фрактальным способом: прямоугольник с золотой пропорцией. 1,618 (число Фи) разбивают на малые квадраты и проводят дугу. То есть в спиралях большая дуга переходит в подобную меньшую и т.д.
Рис. 20. Золотое сечение
Спираль сама по себе является фракталом, в котором каждый новый виток копирует предыдущие, но в новом масштабе. Прямая взаимосвязь между мироустройством микро- и макромира и формой спирали свидетельствует о фрактальном устройстве Вселенной.
Очень интересную информацию об этой взаимосвязи можно найти в книге «АллатРа» А. Новых:
«Ригден: Да, и это связано со структурированным ходом энергий, хранением информации и её обменом, в общем, с углублённой физикой. Если внимательно изучить этот вопрос, то можно понять, что многое в материальном мире располагается в форме спирали или совершает движение по спирали, начиная от микро- и заканчивая макрообъектами».
Здесь же мы читаем, что в мифологии древних народов основные моменты о сотворении мира схожи. Говорится, что из мира Бога появился Первичный Звук, который породил Вселенную в форме шара. А на его поверхности под действием сил Аллата (первичной энергии, порождающей жизненное движение) стала образовываться материя, которая благодаря тем же силам начала взаимодействовать между собой.
Весь мир создан по математическим пропорциям, и древние об этом знали и отразили своё знание в мифах о сотворении мира. Спираль и последовательность Фибоначчи – это тоже фракталы.
Понятие о двух противодействующих силах Вселенной запечатлены на артефактах разных культур и эпох символом спиралей, закрученных в разные стороны.
Рис. 20. Артефакты с символом спираль в культурах мира
Науке уже известно о спиральных структурах и спиралевидном движении энергии. В этом движении также обнаруживаются фрактальные свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле человека, в растениях и природных явлениях (облака, циклоны, водовороты).
Физики наблюдали, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше, и такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически были доступны учёным.
Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений и т.д.
Чем полезны знания о фракталах
Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов – повторение аналогичного паттерна в разных масштабах – позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого.
Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон.
Рис. 21. Изображение структуры лёгких
Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).
В технической сфере мы научились производить фрактальные антенны, которые позволяют значительно уменьшить размеры конструкции, и расширить диапазон принимаемых частот без увеличения объёма и громоздкости.
Применение фрактального свойства в архитектуре привело к появлению новых необычных форм с увеличением прочности строений.
Знания о фракталах нашли применение во всех сферах жизни человека – в физике, экономике, культуре, биологии, геологии и т.д.
Но главное – это реальный шанс по-новому взглянуть на мироустройство, которое пронизано фракталами вдоль, поперёк и насквозь. Например, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как видим, фракталы – это не нечто обособленное и непонятное. Они наполняют нашу жизнь. Знания о фрактальном построении мира имелись у людей издревле. Мы провели небольшое исследование и нашли интересные факты, связанные с древностью фракталов, способами их применения в архитектуре и проявлений как в самом человеке, так и в обществе.
Во второй части нас ждёт захватывающее путешествие в историю, архитектуру, музыку. У нас будет возможность понять, как изменения в неизмеримо малом могут привести к глобальным трансформациям. И что может сделать человек как единица общества, чтобы наступило золотое тысячелетие, о котором люди мечтают с давних пор.
Конец первой части
Участники МОД «АЛЛАТРА»
Список литературы:
Анастасия Новых «АллатРа» К: изд-во «АЛЛАТРА» 2013
Анастасия Новых «Сэнсэй IV»
Анастасия Новых «Сэнсэй-II»
АЛЛАТРА ТВ передача «СОЗНАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ. От заведомо мёртвого к вечно Живому»
Статья «К ТИПОЛОГИИ ФРАКТАЛОВ В ТЕОРИИ КУЛЬТУРЫ»
Смирнова А. С., Готический стиль в архитектуре и психология. (Научные труды Института Непрерывного Профессионального Образования. №4/2014.
Деменок С., Просто фрактал. – СПб.: ООО «Страта», 2012.
Cтатья из Вестника Брестского гос. техн. унив-та. 2015 №1: Колосовская А.Н. Архитектурные сооружения духовно-рыцарский орденов.
Г.М. Вдовин Г.М., Трубецков Д.И., Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту. Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Россия. 2020.
Федер Е., Фракталы. Перевод Ю.А.Данилова и А.Шукурова. М.: «Мир». 1991.