как записать комплексное число в показательной форме
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Лекция на тему: «Показательная форма комплексного числа»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Лекция
Показательная форма комплексного числа.
1. Общий вид показательной формы.
2.Действия над комплексными числами в показательной форме
1. Общий вид показательной формы.
Рассмотрим показательную функцию 
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) 
2) 
3) 
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число ( х=0 ), то получаем:
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
и воспользуемся формулой Эйлера: 
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
Пример 1 . Записать в показательной форме комплексное число 
.
Модуль 
Находим аргумент 
.
Поскольку 
Пример 2. 
Находим модуль 
. Аргумент (главное значение) найдём из соотношения 
Итак 
Пример 3. 
.
Пример 4. 
2. Действия над комплексными числами в показательной форме.
Из формули Эйлера 
(1)
(2) можно получить важне следствия.
Складывая почленно равенства(1) і (2),получим 
откуда
(3)
Почленно вычитая из равенства (1) равенство (2),получаем 
откуда
(4)
Равенства(3) і (4) также называются формулами Эйлера; они выражают тригонометрические функции действительного аргумента через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (3) и (4) справедливы и тогда, корда заменяется любым комплексным числом 
; такая замена дает:
(5) 
(6)
равенства (5) и (6) принимаются за определения косинуса и синуса комплексного аргумента. Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел 
Для вычисления корня из комплексного числа
Упражнения для коллективного решения
1. Выполните действия в показательной форме. Результат записать в алгебраической и тригонометрической форме:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Вопросы для самопроверки:
1.Запишить общий вид комплексного числа в показательной форме.
2.Запишить формулы для выполнения арифметических действий с комплексными числами в показательной форме.
3.Запишить данные комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме: а) 
; б) 
; в) 
Показательная форма комплексного числа
Пусть комплексное число задано в алгебраической форме 
. Найдем модуль и аргумент этого числа. По определению модуль 
; аргумент 
равен 
. Прежде чем ввести определение показательной формы комплексного числа , введем тригонометрическую форму записи числа . Как следует из рисунка
. Это тригонометрическая форма записи числа . Если мы применим формулу Эйлера
то получим показательную форму записи комплексного числа:
В некоторых случаях удобно применять именно показательную форму записи комплексных чисел.
Например, при умножении или делении удобно применять именно показательную форму записи.
Пример 2 Перевести данные комплексные числа и в показательную форму и найти их произведение и частное
.
.Переведем данные числа в показательную форму:
Пример 3 Вычислить и записать ответ в алгебраической форме.
Для удобства вычислений представим число в показательной форме:
Теперь используем формулу для возведения в степень:
Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.
Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.
Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.
Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).
В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.
В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.
Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.
Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?
Формы записи комплексных чисел
Вы будете перенаправлены на Автор24
Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
\[1) z=\sqrt <2>-\sqrt <3>\cdot i; 2) z=\sqrt <3>\cdot (1+3i).\]
2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:
\[z=\sqrt <3>\cdot (1+3i)=\sqrt <3>\cdot 1+\sqrt <3>\cdot 3i=\sqrt <3>+3\sqrt <3>\cdot i\]
Готовые работы на аналогичную тему
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Представить в тригонометрической форме заданные комплексные числа, для которых:
\[1) r=2,\varphi =\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac<3\pi > <2>.\]
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:
\[1) r=3,\varphi =2\pi ; 2) r=0,\varphi =\frac<\pi > <6>.\]
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
\[1) z=4+0\cdot i; 2) z=\sqrt <2>+\sqrt <2>\cdot i.\]
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
\[\varphi =\arg z=arctg\frac<0> <4>=arctg0=0.\]
Подставим полученные значения и получим:
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
\[1) z=3\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi ); 2) z=\frac<1> <\sqrt<2>> \cdot (\cos \frac<\pi > <4>+i\sin \frac<\pi > <4>).\]
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
\[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Показательная форма записи комплексного числа
Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:
Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \) :
Используя формулу Эйлера, получаем:
Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.
Примеры решения проблем
Записать комплексное число \(\ z=2 i \) в экспоненциальной форме.
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname
Следовательно, экспоненциальная форма:
Запишите комплексное число \(\ z=4-3 i \) в экспоненциальном виде.
Используйте формулы, описанные выше. Модуль комплексного числа равен
Следовательно, экспоненциальная форма:
Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\ z=2 e^<\frac<\pi> <3>i> \) найти его алгебраическую форму.
Используя формулу Эйлера, получаем:
Действия комплексных чисел в экспоненциальной форме умножение
Для произведения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:
Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_<1>=\sqrt <2>e^<-\frac<\pi> <2>i> \) и \(\ z_<2>=\sqrt <2>e^<\frac<\pi> <4>i> \)
Используйте формулу, написанную выше. Произведением комплексных чисел является:
Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:
Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.
Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме: