Шумерские счеты что это такое
Так считали древние. Вавилон
Это продолжение задуманной мной серии про историю вычислений и счета. Первая статья про Египет здесь.
Сейчас я попробую немного рассказать о другой великой цивилизации и культуре прошлого. Вавилонское царство возникло в начале 2-го тысячелетия до нашей эры, оно пришло на смену Шумеру и Аккаду и существовало до завоевания Персами в 539 г. до н.э. Писали в Вавилоне, как все помнят, на глиняных табличках с помощью клинописи, которые очень неплохо сохраняются в отличие от бумаги, папируса, и подобных вещей, поэтому мы знаем достаточно много и про Вавилон, и про его математику. Но, конечно, мы не знаем всего. В отличие от греков вавилоняне не оставили точных алгоритмов и ясных объяснений своих приемов. Теперь мы можем только догадываться как именно вавилоняне действовали в том или ином случае при решении задачи. В этой работе я сосредточусь в основном на вавилонской арифметике, оставив в стороне геометрию, алгебру и астрономию.
Вавилоняне в математике продвинулись намного дальше египтян, насколько нам известно, хотя и не сравнялись с греками, видимо. Они уже умели решать квадратные уравнения, кроме того имели некоторые зачатки числовой алгебры. Одно из их достижений было введение позиционной шестидесятеричной системы счисления без нуля. Это означает, что обращение с числами стало значительно более гибким и простым, чем в Египте. Точно не известно, откуда взялась такая система. Одна из версии говорит, что к ней привело смешение 6-ичной и 10-ичной систем народов Шумера и Аккада. Но существуют и другие мысли на этот счет.
Эта система, к сожалению (может и к счастью, не хотелось бы учить их таблицу умножения) не была освоена другими народами Древнего Мира, и пришлось ждать прихода индийской позиционной системы. Однако, кое-какое отражение вавилонской математики в нашей культуре осталось: деление минуты на шестьдесят секунд и часа на 60 минут — это отзвук древней вавилонской системы счисления.
Цифры и система счисления
На картинке показано, как вавилоняне обозначали 1 и 10. С их помощью изображались все числа от 1 до 59. На картинке ниже показано число 33. Это аналогично римской и другим непозиционным системам записи чисел.
Число 60 обозначалось точно так, как и единица. В начале оно рисовалось крупнее, но позже это различие стерлось. Числа больше 60, но меньше, чем 120 обозначались следующим образом: сначала писалось число 60, потом через пробел остальная часть числа, меньшая 60.
Ниже пример числа 63
История математики: шумерская арифметика
Когда в течение последнего столетия ученые начали постигать письменную систему счета в древнем месопотамском мире двух последних тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Прежде всего, месопотамцы воспользовались уникальной системой, в основе которой было положено число 60. Во-вторых, они отличаются от других известных древних народов употреблением позиционной системы счета, как это делаем мы, для выражения чисел на письме. Были предложены самые разные объяснения этих двух странных черт. Некоторые думали, что они могли иметь какое-то отношение к шумерскому календарю; другие – что они были обязаны своему существованию удобству числа 60, такому богатому на делители; третьи – что они были порождены психологическими особенностями шумерского народа. Теперь мы, однако, знаем, что ответ лежит в развитии месопотамской письменности или, точнее, в зависимости письменности от счетоводства (ведь это факт, что первоначальным назначением письменности было счетоводство) и мы имеем дело со следствием тысячелетнего процесса.
Поскольку месопотамцы использовали для ведения счетов глиняные материалы, фактически неподвластные разрушению, мы можем прослеживать развитие письменности в Месопотамии (и в соседнем Сузи) еще в конце четвертого и в начале третьего тысячелетия. Сначала счетоводство проводили, пользуясь пустыми черепичными шарами с мелкими предметными знаками разных размеров и разной формы внутри них и отпечатками цилиндрических печатей на их поверхности. Форма и размер предметных знаков представляли объект и (или) применяемую единицу счета или меры. Отпечатки печати на внешней поверхности указывали то на владельца, то на участников заключенного соглашения, то на чиновника, осуществляющего контроль.
В течение следующих нескольких сотен лет эта система развилась дальше. Во-первых, перед тем, как прятать предметные знаки в шары, на ее поверхности стали делать их отпечатки; во-вторых, со временем отказались от самых предметных знаков, оставив только их отпечатки на поверхности теперь уже сплющенного шара или таблички; и наконец, для того, чтобы сделать отметки на поверхности, начали вместо предметных знаков пользоваться тростью.
Около 3200 года до нашей эры система письменности так развилась, что уже пользовалась целым набором знаков (примерно тридцатью числовыми и восьмисот нечисловыми) для обозначения предметов счета и географических названий и названий, связанных с официальной сферой жизни.
В Месопотамии этого периода (3200-2800 годы до н.э.) пользовались множеством способов или систем счета. Одна предназначалась для счета дискретных объектов и длины, другая – для измерения поверхностей, третья – для определения количества зерна (разбита на многочисленные подсистемы для разных сортов зерна!), третья – для мер времени. Таких метрологических систем насчитывалось, вероятно, целая дюжина.
Чтобы выразить число в любой из этих систем, применяли аддитивную технику; другими словами, числовой знак использовали столько раз, сколько было единиц, представленных этим знаком.
Но при всем обилие систем набор числовых знаков был мал. Действительно, все знаки по сути происходили от четырех разных знаков, чертежей тростью: больших и малых кружочков и больших и малых зубцов. К тому же эти знаки использовались только в определенных комбинациях: то особняком (четыре знака), то в сообщениях кружочек зубец того же размера или кружочек + кружочек двух разных размеров – получалось всего-навсего семь знаков.
Именно поэтому эту малость знаков употребляли по-разному в разных системах: маленький кружок равнялся 10 маленьким зубцам в системе, предназначенной для мер дискретных объектов, 6 маленьких зубцов в системе, предназначенной для измерения объемов, и 18 в системе, предназначенной для измерений поверхности. “Числовые знаки”, следовательно, не означают действительной величины, а только ту, которой наделяет их система, где они выступают. К тому же соотношение между знаками, размещенными в последовательном порядке, – их “относительные величины”, – варьируются от одной системы к другой. Следовательно, нет общей идеи числа, есть только способы счета.
В течение 500 лет, начиная с 3200 до н.э., сфера использования текстов в Месопотамии остается очень узкой. Это преимущественно счет из чисел, заимствованных из разных метрологических систем и обогащенных знаками объектов, подлежащих этому счету, а также географических названий и титулов должностных лиц. Есть также мизерное количество школьных текстов, реестров знаков и слов, как числовых, так и нечисловых, которые молодой ученик писца должен изучать, чтобы овладеть своим ремеслом. Основополагающую роль в писарской науке играло постижение основ счетоводства. Мнение, что письменность может “уклониться” от счетоводства и использоваться для записи языка, – такая естественная в нашем восприятии роль, – вызревало очень медленно: на это ушло аж 500 лет.
Где-то около 2600 года до н.э. все более крепчавшие города-государства, образовывающие древний Шумер, достигли достаточных размеров и достаточного богатства для того, чтобы письменность, до сих пор сосредоточенная лишь в немногих местах, получила всеобщее распространение по всей южной Месопотамии.
Одной из реформ, проведенных в этот период консолидации, была реформа метрологических систем. Число таких систем сократилось от двенадцати до считанного количества: одна – мер дискретных объектов и мер длины, одна – площади и одна – мер объема. К этим трем присоединилась новая система: мер веса. Вместо того, чтобы создавать новые числа для определения величин этой системы, было решено пользоваться числами из системы, применяемой для измерения дискретных объектов, сопровождая те числа названиями единиц веса. Такая система оказалась чрезвычайно практичной – и названия единиц веса и их относительные величины были заимствованы метрологической системой мер поверхности и использовались в ней для определения малых площадей.
Эта идея – называть единицы – была одной из двух важнейших новаций тогдашнего периода, и сфера ее влияния не ограничивалась только системой веса. Даже крупные единицы длины или объема теперь получили себе названия. Писец нарисовал числовой знак + “бурь” для мер поверхности, а также числовой знак + “ниндан” для мер длины. Конечно, поскольку названия единиц писаны, сразу можно увидеть, приведенную разновидность мер. Месопотамские переписчики привели к все более широкому использованию эту новую систему.
Другое важное изменение в этот период связано с написанием цифр. Когда речь идет о площади, знак (А) заступает место прежнего (В), внешнее из двух концентрических кругов заменяется четырьмя перекрещенными клинообразном палочками. Это только один пример типичного в тот период все более широкого внедрения клинописи в письменной системе, включая числовые знаки. Искривленные резные линии древней формы письма, которые было нелегко оставлять на глине, все чаще заменялись быстрыми и простыми знаками, написанными тростью. Развитие письменной системы, смутно наблюдавшееся еще в предыдущий период, в этот период бурно прогрессировало, и на конец тысячелетия, по сути, вытеснило старые округлые числа.
Период с 2350 до 2200 г. до н.э. сказался образованием первой в Месопотамии великой империи аккадцев, говоривших семитским языком. Новая централизованная администрация Аккадской империи, в расцвете своего могущества простиралась от Персидского залива до Сирии и Ливана и играла решающую роль в метрологии и письменности, она же ввела две новации.
Системы единиц, унаследованные от предыдущего периода, были рационализированы и отсортированы таким образом, чтобы они как-то соотносились между собой. Хотя сложность древних способов счета никогда не устранялась полностью, соотношение единиц тяготело к стабилизации вокруг постоянных величин. Кроме того, числовая система мер дискретных объектов теперь стала широко прикладываться к мерам, связанным с употреблением названий для различных единиц.
В то же время древние числа, такие как [С] и [Д] были заменены [Е] и [И7]. Долгое наступление клинописи не прекращалось. Эти изменения, продиктованные необходимостью наиболее эффективно выполнять все большее число бюрократических задач в аккадской империи, было палкой о двух концах. Разумеется, новые клинообразные числа писать было проще и быстрее, чем старые округлые, но скорость обходится дорого. Разница между маленькой единицей и единицей в шестьдесят раз больше была совсем незначительной – она определялась немного большим размером “головки” на конце обычной вертикальной черты. Поскольку легко можно было перепутать, например, числа 61 и 2, когда быстро пишешь (и читаешь), возникала острая проблема двусмысленности. Решение этой проблемы, совершенное месопотамскими состояло как раз в том, чтобы ликвидировать такую двусмысленность, создав позиционную систему.
РОЖДЕНИЯ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧЕТА
После периода руины, вызванной падением аккадской империи, в Месопотамии снова было заложено централизованное государство; город государство Ур успешно основал новую империю, так называемую Третью династию Ур, или Ур III.
Среди более 100 000 текстов этого периода один оставил нам след технической и концептуальной революции; имевшей место во времена Ура III, и в предыдущую аккадскую эпоху. Этот текст со счетами, связанными с доставкой серебра, вполне обычный, за исключением одной детали: переписчик забыл стереть математические подсчеты, сделанные при составлении текста. Запись подсчетов показывает нам, что, по крайней мере, во времена Ура III, уже имела место позиционная система с положенным в ее основу числом 60. В первых четырех строках переписчик записал вес четырех отдельных партий серебра, прибегнув к традиционной шестидесятеричной системе счета. В такой системе каждое место представляет степень от 60, а числа на каждом из них образуют последовательный ряд от 1 до 59.
Для образования письменных знаков этих 59 цифр используются первые два знака теперь уже полностью клинописной системы мер дискретных объектов: клин для величины 10 и палочка для 1. Пустое пространство, появляющееся в числе, служит как месопотамский “ноль”. В последней строке писец переводит сумму четырех записей в традиционную систему мер веса.
Как видно из этого примера, вышеупомянутая двусмысленность чисел 61 и 2 легко устраняется, когда перейти на такую систему. Нет больше никакой разницы в написании знаков, образующих, скажем, числа 11 и 61. Оба числа дважды пользуются тем же знаком. Разница между числами передается исключительно пробелом между ними, то есть предоставлением значения тому, как размещены два знака друг относительно друга. Так в месопотамской математике родилась позиционная система. Система эта была шестидесятеричная; месопотамцы предпочли именно ей из всех, что имели к своим услугам.
Поэтому к месопотамской шестидесятеричной позиционной системе вела не психологическая особенность шумерцев с аккадцами, не мистический и религиозный ритуал и не осложненный математический критерий делимости. Это скорее два одновременных процесса, подталкиваемые экономическими и социальными потребностями все более централизованного государства, функционировавшего в течение тысячелетнего периода – рост доверия к числам, заимствованным из простой метрологической системы и все большее расширение сферы применения клинописи и неизбежный риск двусмысленности в написании цифр, – взаимодействуя, создали разновидность числовой системы, которой суждено было жить в Месопотамии в течение следующих 2000 лет. Как мы видели, то все большее доминирование одной специфической метрологической системы с ее специфическим выбором относительных величин, дало жизнь числовой системе, в основе которой лежит число 60, и это расширение сферы применения клинописи породило позиционную систему счета.
В этом, пожалуй, самое важное неожиданное последствие этих двух процессов. Те же числовые знаки могли использоваться – и использовались – для написания цифр в вычислениях всех метрологических систем. Эта новая система не была привязана к одному традиционному способу счета; числа приобрели способность “свободно плавать” и разрыв между числом и мерой стал полнейшим. Конец третьего тысячелетия до н.э. стал свидетелем рождения концепции числа, отвлеченного от любой отдельной единицы.
Автор: Джеймс Риттер.
P. S. Старинные летописи рассказывают: А вообще развитие математического мышления помимо всего прочего повышает способности человека к изучению иностранных языков, даже если вы собрались английский язык в Химках изучать, склонность к математике сможет вам в этом помочь.
Математика в Месопотамии
ša3 niĝ2-kas7 nu-zu ša3 igi-ĝal2 tuku
Обладает ли мудростью душа, которая не овладела искусством счета?
Шумерская пословица,
Alster B. Proverbs of Ancient Sumer, 1997, 54, 116
Обычно, когда мы говорим о математике в древней Месопотамии, мы имеем в виду старовавилонский период (1800–1595) или вторую половину I тыс. до н. э. От этих периодов сохранилось множество табличек математического содержания, которые опубликованы и хорошо изучены. Но вообще-то математика в Месопотамии родилась раньше письменности. Более того, она послужила толчком для развития последней.
Сначала для учета продукции храмовых хозяйств использовались счетные фишки, изображавшие тот или иной вид продукта. К IV тыс. до н. э. вместо фишек стали использоваться глиняные таблички с их изображениями или рядами чисел. Уже первые таблички с расчетами количества зерна для пива или с вычислением площади поля демонстрируют нам, что жители Месопотамии неплохо разбирались в прикладной математике. Немногочисленные математические таблички, дошедшие до нас от III тыс. до н. э., показывают, что население Междуречья (сначала шумеры, позже — сменившие их аккадцы) умножали и делили, оперировали дробями, вычисляли площадь полей — в том числе полей нерегулярной формы, — а также объем стен и количество кирпичей, необходимое для их возведения.
Многие первые математические таблички, как, например, описанная во врезке, явно представляют собой упражнения, а не практические вычисления — они оперируют очень большими или очень малыми числами, описывают идеальную ситуацию, в них отсутствует маркеры хозяйственных документов. В III тыс. до н. э. в ходу было несколько разных систем счисления и разных систем мер и весов. Благодаря ряду бюрократических реформ к концу III тыс. — началу II тыс. до н. э. они были в значительной степени унифицированы. Шире всего стала применяться шестидесятеричная система счисления — появились первые таблицы с парами взаимно обратных чисел, произведение которых равно 60.
Надписи на глиняном цилиндре рассказывают о строительных операциях, в том числе о восстановлении храма бога Шамаша в Ларсе. Расчеты для строительства требовали хорошей математики
К старовавилонскому периоду все жанры математических текстов, а также круг решаемых задач (арифметических, алгебраических и геометрических) уже существовали. Но от этого времени, в отличие от предыдущего, до нас дошли тысячи табличек математического характера. Среди них таблицы на умножение, таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней, квадратов последовательных целых чисел, сумм кубов и квадратов и сотни словесных алгебраических и геометрических задач. Поэтому при описании месопотамской математики принято опираться именно на этот период.
На основе источников можно сделать вывод, что вавилоняне умели решать линейные и квадратные уравнения, системы линейных уравнений, использовали правила суммирования прогрессий, в задачах применяли пропорции, проценты; оперировали числом π, вычисляли площадь сегмента круга и объем усеченного конуса, площадь правильных многоугольников и неправильных четырехугольников; на практике применяли теорему Пифагора (без доказательства самой теоремы). Умели в древнем Вавилоне решать и некоторые более сложные уравнения, которые с помощью линейной замены переменной сводились к уравнению с целым корнем, который искали перебором.
Математике начинали обучать в старовавилонской школе сразу после того, как ученики осваивали основной репертуар клинописных знаков. Начинали с изучения прикладной метрологии и арифметики, потом переходили к словесным задачам по алгебре и геометрии.
Существует пример алгоритмического расчета роста поголовья скота на протяжении десяти лет (табличка TCL 2, 5499; CDLI: P131589): в начале дано 4 коровы и два разнополых теленка. Каждая вторая корова приносит каждый год по теленку. Каждый первый теленок — мужского пола, каждый второй — женского. На четвертый год каждый теленок становится быком или коровой. В течение года каждая корова приносит определенное количество сыворотки и сыра. Заданы также цены на сыворотку и сыр. В конце подсчитывается количество коров, быков и телят в стаде через десять лет; общее количество сыворотки и молока, полученных в течение десяти лет, и их стоимость в серебре.
Plimpton 322
Пожалуй, самым известным математическим текстом, написанным на глиняной табличке в старовавилонскую эпоху, является табличка Plimpton 322. Джордж Артур Плимптон, по имени которого она названа, был издателем учебной литературы в Нью-Йорке — и частным коллекционером. Он приобрел эту табличку около 1922 года за 10 долларов у американского дипломата и антиквара Эдварда Банкса, который в свободное от работы время занимался раскопками, а также покупал и перепродавал глиняные таблички (считается, что он был прототипом Индианы Джонса). В 1936 году Плимптон передал эту табличку в дар Колумбийскому университету, где она хранится и сейчас в библиотеке редких рукописей и манускриптов.
Судя по особенностям письма, табличка была написана в конце XIX или XVIII веке до н. э. и относится, следовательно, к старовавилонскому периоду. Э. Банкс утверждал, что табличка была найдена в руинах города Ларсы, расположенного в Южной Месопотамии. Действительно, своим горизонтальным форматом табличка напоминает административные документы из Ларсы, хотя этот формат и не свойственен другим математическим табличкам из этого города.
Считается, что примерно треть от первоначального размера таблички слева утрачена. Размеры сохранившейся части таблички составляют 13×9×2 см. Лицевая сторона таблички поделена на четыре колонки по пятнадцать строк каждая. Разделительные линии колонок продолжаются и на обратной стороне таблички, но текст на ней отсутствует. Над каждой из четырех колонок на лицевой стороне сделаны пояснения на аккадском языке с использованием шумерских логограмм.
Вавилонская табличка Plimpton 322. Найдена в Нижнем Междуречье, предположительно на месте древнего города Ларса
Plimpton 322 — таблица, в которой собраны пифагоровы тройки — размеры прямоугольных треугольников, у которых оба катета и гипотенуза выражаются целыми числами. В табличке выписаны два катета, а вместо гипотенузы — квадрат отношения гипотенузы к одному из катетов. Ее описание проще всего начать с четвертой колонки, озаглавленной как «его / ее строка». В этой колонке содержится нумерация строк таблички с 1 по 15.
Во второй и третьей колонке записаны 15 пар чисел из пифагоровых троек в шестидесятеричной системе. При уравнении вида a 2 + b 2 = c 2 вторая колонка содержит числа a (соответствуют самой короткой стороне прямоугольного треугольника). В третьей колонке содержатся числа c (соответствуют гипотенузе прямоугольного треугольника). Заголовок второй колонки содержит слово «ширина», а третьей — «диагональ». Этим словам в обоих случаях предшествует логограмма IB2.SI8. Возможный перевод этой логограммы — «квадрат», то есть вторая колонка может называться «квадрат ширины», а третья — «квадрат диагонали». Однако математики, занимающиеся этой табличкой, всё еще спорят по поводу интерпретации этой логограммы в данном контексте.
Первыми (в 1940-х годах) табличкой заинтересовались профессор Брауновского университета, математик и историк науки Отто Нейгебауэр и ассириолог Абрахам Закс (Abraham Sachs). Они интерпретировали табличку как запись пифагоровых чисел. Долгое время табличка считалась уникальной. Действительно, нам неизвестны другие подобные таблицы с пифагоровыми тройками. Но задачи на пифагоровы треугольники — обычное дело для старовавилонской школы. Так, Элеанора Робсон [6], специалист по месопотамской математике, изучала табличку Plimpton 322 в контексте других вавилонских математических табличек и показала их сходство. Кроме того, она попыталась реконструировать отсутствующую часть текста. По ней ( [6]: 116), в утерянной части таблички были записаны пары взаимно обратных чисел. Они были использованы для нахождения короткой стороны и гипотенузы прямоугольного треугольника с длинной стороной, равной единице, с помощью метода дополнения квадрата. Один из промежуточных результатов записан в первой сохранившейся колонке. Существуют и другие попытки как реконструкции, так и интерпретации таблички [5]. Хайосси в своей статье не только предлагает свою интерпретацию различных аспектов, связанных с этим текстом, но и кратко перечисляет теории других исследователей.
Литература
1. Страница таблички Plimpton 322 на сайте библиотеки Колумбийского университета.
2. Страница таблички на сайте CDLI (Cuneiform Digital Library Initiative).
3. Casselman, W., The Babylonian Tablet Plimpton 322, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada, 2003.
4. Friberg, J. Mathematik. Das Reallexikon der Assyriologie und Vorderasiatischen Archäologie 7 (1987–1990), pp. 531–585.
5. Hajossy, R. Plimpton 322: A Universal Cuneiform Table for Old Babylonian Mathematicians, Builders, Surveyors and Teachers // Tatra Mountains Mathematical Publications, 67(1) (2016), pp. 1–40.
6. Robson, E. Words and pictures: new light on Plimpton 322 // American Mathematical Monthly, 109 (2002), pp. 105–120.
Литература для дополнительного чтения
1. Friberg, J. Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322. Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations // Historia Mathematica, 8 (1981), pp. 277–318.
2. Friberg, J. A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts: Manuscripts in the Schøyen Collection, Cuneiform Texts I, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin: Springer.
3. Proust, C. On the nature of the table Plimpton 322. Mathematisches Forschungsinstitut.
4. Oberwolfach, Oberwolfach Report 12/2011, pp. 664–666.
5. Robson, E. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322 // Historia Math., 28 (2001), pp. 167–206.