Устойчивость в чем измеряется
Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами
Введение
Необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия [1].
Постановка задачи
Теория просто и кратко
Анализ устойчивости системы по методу Михайлова сводится к построению характеристического многочлена замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):
(1)
где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.
Замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на
стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.
(2)
Рисунок 1. Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)
САУ электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР)
Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР
Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение [2]:
(3)
где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .
Численные значения в выражение передаточной функции следующие:
K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.
Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы
заменив s на :
(4)
Решение на Python
Здесь следует отметить, что подобные задачи на Python ещё никто не решал, во всяком случае я не нашёл. Это было связано с ограниченными возможностями работы с комплексными числами. С появлением SymPy можно сделать следующее:
Характеристический многочлен замкнутой системы –
-I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1
Сразу видим, что многочлен третьей степени. Теперь получим мнимую и действительную части в символьном отображении:
Сразу видим вторую степень действительной части и третью мнимой. Подготовим данные для построения годографа Михайлова. Введём численные значения для T1 и T2, и будем менять частоту от 0 до 100 с шагом 0.1 и построим график:
Из графика не видно, то годограф начинается на действительной положительной оси. Нужно изменить масштабы осей. Приведу полный листинг программы:
Теперь уже видно, что годограф начинается на действительной положительной оси. САУ устойчива, n=3, годограф совпадает с приведённым на первом рисунке.
Дополнительно убедится в том, что годограф начинается на действительной оси можно дополнив программу следующим кодом для w=0:
Начальная точка М(1,0)
САУ сварочного робота
Рисунок 3. Структурная схема САУ позиционированием НСУ
Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:
где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа. Численные значения: K = 40; a = 0,525.
Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:
(5)
Решение на Python
Построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси (М (21,0)), огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.
Выводы
При помощи модуля SymPy Python получен простой и наглядный инструмент для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.
Понятие об устойчивости.
Устойчивость — общесистемное понятие, это способность системы (объекта) самостоятельно сохранять свои свойства, параметры или состояние неизменными при внешних воздействиях.
Равновесие —состояние системы, когда ее параметры не изменяются во времени. Существуют и неравновесные состояния.
Возмущение — это воздействие на систему, стремящееся вывести ее из равновесного состояния.
Т.о. устойчивость — способность системы (объекта) сохранять равновесное состояние при внешних возмущениях или приходить к нему из неравновесного состояния самостоятельно, т.е. без внешних управляющих воздействий.
ПРИМЕЧАНИЕ: равновесие может быть статическим и динамическим. Понятие динамическое равновесие относится к процессам (это тоже разновидность систем). Летательный аппарат — это объект, а не процесс, поэтому мы рассматриваем только статическое равновесие.
Соответственно, равновесное состояние, в котором система обладает свойством устойчивости, называется устойчивым равновесием.
Состояния, в которых системы не обладают этим свойством можно разделить на:
— неустойчивые состояния — при внешних возмущениях, даже при бесконечно малых, система выходит из равновесного состояния;
— нейтральные (безразличные) состояния — при внешних возмущениях, даже при бесконечно малых, система переходит в новое состояние и остается в нем после прекращения воздействия возмущения.
Равновесие м.б. устойчиво к воздействию одного возмущения, и неустойчиво к воздействию другого возмущения. Имеет смысл говорить об устойчивости по разным параметрам. Система может быть устойчива по одному параметру (при воздействии одного возмущения) и неустойчива по другому параметру.
Поэтому, описывая характеристики устойчивости системы (в т.ч. самолета), необходимо указывать, для каких условий (состояний) и к каким воздействиям относятся описываемые характеристики устойчивости. Естественно, каждый тип систем имеет свой набор воздействий. Для самолета их 2: угол атаки (продольный канал, продольная устойчивость) и угол скольжения(боковой канал, боковая устойчивость).
Пример: Самолёт с 4´РВВ – АЕ в полётной конфигурации при задних центровках устойчив по перегрузке в продольном канале в диапазонах углов атаки 5° 20°. В диапазоне 0° 20°.
При передней центровке самолет имеет нейтральность на aм
Уточнение про «бесконечно малые возмущения»: неустойчивое равновесие неустойчиво при всех возмущениях, даже при бесконечно малых.
Устойчивое равновесие при малых возмущениях устойчиво. А что может быть при больших возмущениях? Может быть:
— возврат в исходное состояние (как и при малых возм.),
— переход в другое состояние: равновесное или неравновесное,
— при очень больших возмущениях выход за границы существования системы и разрушение системы.
 |
Можно продемонстрировать пример с параллелепипедом (с сумкой).
Для самолета это может выглядеть так (на примере продольной устойчивости):
— 1-ый вар. Понятен, прост и правилен: при случайном значительном изменении угла атаки самолет сам возвращается в исходное положение.
— 2-ой вар. Самолет с «ложкой» может при одном положении РВ устойчиво лететь на двух разных углах атаки, имея при этом разную скорость и траекторию. Второй пример — более редкий, но и более неприятный: при неблагоприятных обстоятельствах (большой угол атаки и наличие скольжения) при случайном значительном увеличении угла атаки самолет может выйти на запредельные углы атаки и сорваться в штопор, который может быть устойчивым (при неизменном положении рулей). Можно при вести вариант со сваливанием пассажирских самолетов.
— 3-ий вар. На больших скоростях при случайном значительном увеличении угла атаки возникающая при этом перегрузка превышает предельное значение, и самолет разрушается.
В ЛА стараются реализовать первый вариант, а от третьего варианта уходят правильным выбором границ существования системы — прочностью самолета. Получается не всегда.
Именно к большим и малым возмущениям относятся иногда встречающиеся понятия «устойчивость в большом» (большие возмущения) и «устойчивость в малом» (малые возмущения). Без «устойчивости в малом» нет «устойчивость в большом». Поэтому всегда предметом изучения и реализации является устойчивость при малых возмущениях, и только потом определяются или задаются предельные величины возмущений, на которые рассчитана система (самолет).
Исходя из этого в изучении и реализации устойчивости имеются следующие методические приемы: вводятся понятия:
Статическая устойчивость — это способность системы при воздействии на нее внешних малых возмущений порождать силы, стремящиеся вернуть ее в исходное равновесное состояние.
Динамическая устойчивость — это не свойство, это описание процесса поведения системы при воздействии на нее внешних возмущений. Это не динамическое равновесие.
Нет отдельных понятий или явлений: устойчивость, статическая устойчивость, динамическая устойчивость. Есть понятие устойчивости, и для того, чтобы система была устойчива, надо, чтобы при внешних малых возмущениях система порождала силы, стремящиеся вернуть ее в исходное равновесное состояние (выполнялся критерий статической устойчивости), и характеристики процесса возвращения в исходное состояние (характеристики динамической устойчивости) были приемлемыми.
Виды изменения состояния системы при возмущении (на примере самолета).
а – апериодическое затухающее движение,
б – колебательное затухающее движение.
В вариантах а) и б) имеется статическая устойчивость и характеристики динамической устойчивости приемлемы.
в – незатухающее колебательное движение с постоянной амплитудой,
г – незатухающее колебательное движение с нарастающей амплитудой.
В вариантах в) и г) имеется статическая устойчивость, но характеристики динамической устойчивости неприемлемы.
д – апериодическое нарастающее отклонение от исходного положения — отсутствует статическая устойчивость, о динамике движения вообще нет смысла говорить.
Устойчивость
решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения (См. Устойчивость движения) в механике; имеет также важное значение для приложений в технике (например, радиотехнике).
системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (См. Автоматическое управление) (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым в 1892.
Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение – непосредственно по его коэффициентам. При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х. Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.
Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие – неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации (См. Линеаризация).
Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем.
Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных Алгоритмов, так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.
Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч., т. 2, М. – Л., 1956; Воронов А. А., Основы теории автоматического управления, т, 2, М. – Л., 1966; Наумов Б. Н., Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы, М., 1972; Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева, 3 изд., М., 1974.
В. С. Пугачев, И. Н. Синицын.
Значения в других словарях
Устойчивость
Устойчивость — способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий.
См. также
 | Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью. |
Полезное
Смотреть что такое «Устойчивость» в других словарях:
УСТОЙЧИВОСТЬ — УСТОЙЧИВОСТЬ, устойчивости, мн. нет, жен. отвлеч. сущ. к устойчивый; устойчивое положение. «Устойчивость советской валюты обеспечивается прежде всего громадным количеством товарных масс в руках государства, пускаемых в товарооборот по устойчивым… … Толковый словарь Ушакова
устойчивость — живучесть, выносливость; постоянство, неизменность, стабильность, константность, прочность; безубыточность, основательность, кредитоспособность, капитальность, нерушимость, беспроигрышность, крепость, апломб, испытанность, стойкость,… … Словарь синонимов
УСТОЙЧИВОСТЬ — (англ. tolerance, stability). 1. У. внимания. См. Внимание. 2. Помехоустойчивость. См. Помехоустойчивость оператора. 3. Нравственная У. личности способность человека регулировать свое поведение исходя из принятых и усвоенных им нравственных … Большая психологическая энциклопедия
устойчивость — электрической системы; устойчивость Способность электрической системы восстанавливать исходный установившийся режим или режим, близкий к исходному при различного рода возмущениях; Иначе: Переход системы от одного устойчивого режима к другому… … Политехнический терминологический толковый словарь
устойчивость — стабильность Способность системы, возвращаться в исходное состояние после внешних воздействий и продолжать работу без изменения функциональных характеристик. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь… … Справочник технического переводчика
Устойчивость — – способность подъемника противодействовать опрокидывающим моментам. [ГОСТ Р 52064 2003] Устойчивость – свойство вещества, материала возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений из этого состояния. [Ушеров Маршак А. В.… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
Устойчивость — горного объектa (a. stability; н. Standsicherheit; ф. stabilite, tenue; и. estabilidad) способность горн. объекта функционировать c заданными параметрами в определённых условиях в течение требуемого отрезка времени. Понятие У. в горн.… … Геологическая энциклопедия
устойчивость — УСТОЙЧИВЫЙ, ая, ое; ив. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
УСТОЙЧИВОСТЬ — растений, способность растений противостоять воздействию экстремальных факторов среды (почвенная и воздушная засуха, засоление почв, низкие темп ры и т. д.). Это свойство выработано в процессе эволюции и генетически закрепилось. В р нах с… … Биологический энциклопедический словарь
УСТОЙЧИВОСТЬ — постоянство, пребывание в одном состоянии; противоположность – изменение. Философский энциклопедический словарь. 2010 … Философская энциклопедия
УСТОЙЧИВОСТЬ
Смотреть что такое «УСТОЙЧИВОСТЬ» в других словарях:
Устойчивость — Устойчивость способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества. В метеорологии… … Википедия
УСТОЙЧИВОСТЬ — УСТОЙЧИВОСТЬ, устойчивости, мн. нет, жен. отвлеч. сущ. к устойчивый; устойчивое положение. «Устойчивость советской валюты обеспечивается прежде всего громадным количеством товарных масс в руках государства, пускаемых в товарооборот по устойчивым… … Толковый словарь Ушакова
устойчивость — живучесть, выносливость; постоянство, неизменность, стабильность, константность, прочность; безубыточность, основательность, кредитоспособность, капитальность, нерушимость, беспроигрышность, крепость, апломб, испытанность, стойкость,… … Словарь синонимов
УСТОЙЧИВОСТЬ — (англ. tolerance, stability). 1. У. внимания. См. Внимание. 2. Помехоустойчивость. См. Помехоустойчивость оператора. 3. Нравственная У. личности способность человека регулировать свое поведение исходя из принятых и усвоенных им нравственных … Большая психологическая энциклопедия
устойчивость — электрической системы; устойчивость Способность электрической системы восстанавливать исходный установившийся режим или режим, близкий к исходному при различного рода возмущениях; Иначе: Переход системы от одного устойчивого режима к другому… … Политехнический терминологический толковый словарь
устойчивость — стабильность Способность системы, возвращаться в исходное состояние после внешних воздействий и продолжать работу без изменения функциональных характеристик. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь… … Справочник технического переводчика
Устойчивость — – способность подъемника противодействовать опрокидывающим моментам. [ГОСТ Р 52064 2003] Устойчивость – свойство вещества, материала возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений из этого состояния. [Ушеров Маршак А. В.… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
Устойчивость — горного объектa (a. stability; н. Standsicherheit; ф. stabilite, tenue; и. estabilidad) способность горн. объекта функционировать c заданными параметрами в определённых условиях в течение требуемого отрезка времени. Понятие У. в горн.… … Геологическая энциклопедия
устойчивость — УСТОЙЧИВЫЙ, ая, ое; ив. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
УСТОЙЧИВОСТЬ — растений, способность растений противостоять воздействию экстремальных факторов среды (почвенная и воздушная засуха, засоление почв, низкие темп ры и т. д.). Это свойство выработано в процессе эволюции и генетически закрепилось. В р нах с… … Биологический энциклопедический словарь