Элементами множества а являются натуральные числа известно что выражение

Информатика ЕГЭ 15 задание разбор

15 задание ЕГЭ «Основные законы алгебры логики»

15-е задание: «Основные законы алгебры логики»
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 5 минут.

Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:

Задания с множествами

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

Ответ: 12

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

Ответ: 18

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A .

Ответ: 7

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Ответ: 1

Задания с отрезками на числовой прямой

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

Ответ: 4

✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:

def f(a1,a2,x): return((44 maxim: maxim=a2-a1 print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина

PascalABC.net:

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 10

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 8

Далее возможно 2 способа решения.

✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 19

Задания с ДЕЛ

Поиск наибольшего А, известная часть Дел ∨ Дел = 1

Для какого наибольшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Ответ: 8

Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.

Решение с помощью логических рассуждений:

Решение с помощью кругов Эйлера:

Результат: 8

✎ Решение 2 (программирование):
Python:

for A in range(1,500): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))

Поиск наименьшего А, известная часть Дел ∧ ¬Дел = 1

Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Ответ: 3

Избавимся от импликации:

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:

Из общего выражения:

for A in range(1,50): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= (x % A == 0) 0)or (x mod 42 = 0)) = false then begin ok := 0; break; end; end; if (ok = 1) then begin print(A); break; end end; end.

Результат: 3

Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Ответ: 285

✎ Решение 2 (программирование):
Python:
Из общего выражения:

Источник

Элементами множества а являются натуральные числа известно что выражение

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = <2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20>, Q = <5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50>.

Известно, что выражение ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Преобразуем данное выражение:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x A) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Таким образом, элемент должен либо входить в P или Q, либо не входить в А. Таким образом, в А могут быть лишь элементы из P и Q.

Заметим, что во множестве P лежат чётные числа от 2 до 20, а в Q — числа от 5 до 50, кратные 5. Значит, в пересечении этих двух множеств будут лежать числа от 5 до 20, кратные и 5, и 2, то есть кратные 10. Таких числа 2 — 10 и 20.

Аналоги к заданию № 9202: 9310 10294 10321 Все

Источник

Элементами множества а являются натуральные числа известно что выражение

Известно, что выражение

истинно (то есть принимает значение 1) при любом значении переменной x. Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве A.

Таким образом, выражение верно для тех x, которые либо не принадлежат P, либо не принадлежат Q, либо принадлежат A. То есть сейчас выражение ложно только для тех x, которые принадлежат одновременно и P, и Q. Это 3, 9, 15 и 21. Если эти числа положить в А, то тогда выражение будет верно всегда.

Аналоги к заданию № 9202: 9310 10294 10321 Все

Известно, что выражение

истинно (то есть принимает значение 1) при любом значении переменной x. Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве A.

Таким образом, выражение верно для тех x, которые либо не принадлежат P, либо не принадлежат Q, либо принадлежат A. То есть сейчас выражение ложно только для тех x, которые принадлежат одновременно и P, и Q. Это 6, 12 и 18. Если эти числа положить в А, то тогда выражение будет верно всегда.

Аналоги к заданию № 9202: 9310 10294 10321 Все

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 50] и Q = [10, 70]. Выберите такой отрезок А, чтобы формула

была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет меньшую длину.

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

Логическое И истинно, если истинны оба утверждения. Выражение ¬P истинно тогда, когда x∈(–∞,30);(50,∞). Следовательно, A должно быть истинно на интервале [30;50]. Выражение Q истинно тогда, когда x∈[10, 70]. Следовательно, ¬A должно быть истинно на интервалах (−∞,10);(70,∞). Таким образом, нам нужен отрезок, который полностью содержится в отрезке [10, 70] и при этом содержит в себе отрезок [30, 50].

Из всех отрезков только отрезок [27;53] удовлетворяет этим условиям.

Правильный ответ указан под номером 2.

Аналоги к заданию № 4810: 4811 4812 4813 4814 5269 5301 Все

На числовой прямой даны два отрезка: P = [17, 54] и Q = [37, 83]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Применив преобразование импликации, получаем:

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬(P ∧ Q) истинно на множестве (−∞, 37) ∪ (54, ∞). Тогда A должно быть истинным на множестве [37; 54]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 54 − 37 = 17.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма (для Вашего удобства алгоритм представлен на четырёх языках).

DIM A, B, T, N, P AS INTEGER

var a, b, t, N, P :integer;

Function F(x: integer):integer;

for t := a to b do begin

if (F(t) > P) then begin

using namespace std;

нц для t от a до b

for t in range(a, b+1):

Алгоритм предназначен для нахождения количества целых точек на отрезке [−25; 25] в которых функция F(x) = 16 · (9 − x) 2 +127 имеет значение больше 130. Следовательно, задачу можно свести к неравенству:

Данное неравенство будет выполнятся во всех целых точках отрезка [−25; 25], кроме точки 9, в которой F(x) = 127. Всего отрезок [−25; 25] содержит 51 целую точку. Следовательно, ответ 50.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма (для Вашего удобства алгоритм представлен на четырёх языках).

DIM A, B, T, N, P AS INTEGER

Function F(x: integer):integer;

for t := a to b do begin

if (F(t) > P) then begin

using namespace std;

нц для t от a до b

for t in range(a, b+1):

Алгоритм предназначен для нахождения количества целых точек на отрезке [−20; 20] в которых функция F(x) = 16 · (9 + x) 2 +127 имеет значение больше 130. Следовательно, задачу можно свести к неравенству:

Данное неравенство будет выполнятся во всех целых точках отрезка [−20; 20], кроме точки −9, в которой F(x) = 127. Всего отрезок [−20; 20] содержит 41 целую точку. Следовательно, ответ 40.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма (для Вашего удобства алгоритм представлен на четырёх языках программирования).

DIM A, B, T, N, P AS INTEGER

var a, b, t, N, P :integer;

Function F(x: integer):integer;

for t := a to b do begin

if (F(t) > P) then begin

using namespace std;

нц для t от a до b

for t in range(a, b+1):

Алгоритм предназначен для нахождения количества целых точек на отрезке [−25; 25] в которых функция F(x) = 16 · (9 − x) 2 +127 имеет значение больше нуля. Следовательно, задачу можно свести к неравенству:

Данное неравенство будет выполнятся во всех целых точках отрезка [−25; 25]. Всего отрезок [−25; 25] содержит 51 целую точку. Следовательно, ответ 51.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 35] и Q = [17, 48].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула ((x A) → ¬(x P)) → ((x A) → (x Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Преобразуем данное выражение.

((x A) → ¬(x P)) → ((x A) → (x Q))

((x A) ∨ (x P)) → ((x A) ∨ (x Q))

¬((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x A) ∨ (x Q))

Верно, что A ∧ B ∨ ¬A = ¬A ∨ B. Применим это здесь, получим:

(x P) ∨ (x A) ∨ (x Q)

Аналоги к заданию № 8666: 9170 Все

Так как скобки у отрезков квадратные, числа 10 и 48 входят в диапазон отрезка А, а значит в отрезок А входит всего 39 чисел, а не 38

Конечную формулу можно сократить, так как:

(x ∈ A) ∧ (x ∈ P) ∨ (x ¬∈ A) ∨ (x ∈ Q) =

Спасибо за ваш комментарий, так решение выглядит куда лучше.

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = <2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20>, Q = <5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50>.

Известно, что выражение ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Преобразуем данное выражение:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x A) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Таким образом, элемент должен либо входить в P или Q, либо не входить в А. Таким образом, в А могут быть лишь элементы из P и Q.

Заметим, что во множестве P лежат чётные числа от 2 до 20, а в Q — числа от 5 до 50, кратные 5. Значит, в пересечении этих двух множеств будут лежать числа от 5 до 20, кратные и 5, и 2, то есть кратные 10. Таких числа 2 — 10 и 20.

Аналоги к заданию № 9202: 9310 10294 10321 Все

На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула

(¬ (x A) → (x P)) → ((x A) → (x Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Преобразуем данное выражение:

(¬ (x A) → (x P)) → ((x A) → (x Q))

((x A) ∨ (x P)) → ((x A) ∨ (x Q))

¬((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x A) ∨ (x Q))

(x A) ∧ (x P) ∨ (x A) ∨ (x Q)

(x A) ∨ (x Q)

Таким образом, либо x должен принадлежать Q, либо не принадлежать A. Это значит, что для достижения истинности для всех x, необходимо, чтобы A полностью содержался в Q. Тогда максимум, каким он сможет стать, это всем Q, то есть длиной 15.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

Источник